Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.
\int_{0}^{0.3} \frac{x}{1+x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede
\int_{0}^{0.3}\frac{x}{1+x^{3}}\,dx
e sugere usar série de potências. Vamos aplicar a expansão conhecida
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n},\quad |u|<1,
com u=x^{3}, pois em 0\le x\le0.3 temos |x^3|<1.

Passo 2

Substituindo u=x^3 na expansão, obtemos
\frac{1}{1+x^{3}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{3n}
e, portanto,
\frac{x}{1+x^{3}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{3n+1}.

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a 0.3:
\int_{0}^{0.3}\frac{x}{1+x^{3}}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{0.3}x^{3n+1}dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(0.3)^{3n+2}}{3n+2}.
Como é série alternada de termos decrescentes em módulo para x=0.3, o erro ao truncar após n=N é no máximo o módulo do termo n=N+1.

Passo 4

Para garantir erro menor que 5\times10^{-7} (seis casas decimais), verificamos o termo de ordem n=3:
\left|\frac{(0.3)^{11}}{11}\right| =\frac{0.3^{11}}{11}\approx\frac{1.7715\times10^{-6}}{11}\approx1.61\times10^{-7} <5\times10^{-7}.
Logo, basta somar os termos n=0,1,2:
T_{0}=\frac{(0.3)^{2}}{2}=0.045, \quad T_{1}=-\frac{(0.3)^{5}}{5}=-0.000486, \quad T_{2}=\frac{(0.3)^{8}}{8}\approx8.20125\times10^{-6}.

Passo 5

A soma parcial dá
S=T_{0}+T_{1}+T_{2} =0.045-0.000486+0.00000820125 \approx0.04452220125.
Arredondando para seis casas decimais obtemos
0.044522.

Resposta

0.044522

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