Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.
\int_{0}^{1 / 2} \operatorname{arctg} \frac{x}{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar com seis casas decimais a integral
I = \int_{0}^{1/2} \arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo é desenvolvimento em série de potências e integração termo a termo.

Passo 2

Usamos a série de potências de \arctan u:
\arctan u = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \,\frac{u^{2n+1}}{2n+1}, \quad |u|\le1.
Aqui tomamos u = x/2, de modo que
\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \,\frac{(x/2)^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a 1/2:
I = \int_{0}^{1/2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \,\frac{(x/2)^{2n+1}}{2n+1}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \,\frac{1}{2n+1} \int_{0}^{1/2} (x/2)^{2n+1}\,dx.
Calculando a integral interna,
\int_{0}^{1/2} (x/2)^{2n+1}\,dx = \frac{1}{2^{2n+1}}\int_{0}^{1/2} x^{2n+1}\,dx = \frac{1}{2^{2n+1}}\cdot\frac{(1/2)^{2n+2}}{2n+2} = \frac{1}{(2n+2)\,2^{4n+3}}.
Logo o n-ésimo termo é
a_n = (-1)^n\, \frac{1}{2n+1}\, \frac{1}{(2n+2)\,2^{4n+3}} = (-1)^n\, \frac{1}{(2n+1)(2n+2)\,2^{4n+3}}.

Passo 4

Para garantir seis casas decimais, usamos o critério de série alternada decrescente: o erro ao truncar após n=N é menor em módulo que |a_{N+1}|. Calculamos os primeiros termos:
a_0 = \frac{1}{1\cdot2\cdot2^3} = 0{,}0625, \quad a_1 = -\frac{1}{3\cdot4\cdot2^7}\approx -0{,}0006510417,
a_2 = \frac{1}{5\cdot6\cdot2^{11}}\approx 0{,}0000162760, \quad a_3 = -\frac{1}{7\cdot8\cdot2^{15}}\approx -0{,}0000005440.
Note que \lvert a_{3}\rvert\approx5{,}44\times10^{-7}<10^{-6}. Basta, portanto, somar até n=2.

Passo 5

Somando n=0,1,2:
S_2 = a_0 + a_1 + a_2 = 0{,}0625 - 0{,}0006510417 + 0{,}0000162760 = 0{,}0618652343\ldots
O erro fica abaixo de 5{,}5\times10^{-7}, cumprindo seis casas corretas.

Resposta

Aproximando com seis casas decimais,
\int_{0}^{1/2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx \approx 0{,}061865.

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