Prove que \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n}=\frac{1}{1+x^{2}}, sobre (-1,1).

Passo 1

O enunciado pede para provar que a série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}
converge para \tfrac1{1+x^2} quando x\in(-1,1).
O conteúdo principal é a soma de uma série geométrica com razão r=-x^2, válida se |r|<1.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral identificando a série geométrica padrão. Observe que
(-1)^{n}x^{2n}=( -x^2)^n.
Logo
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}( -x^2)^n,
onde o primeiro termo é a=( -x^2)^0=1 e a razão é r=-x^2.

Passo 3

Para que a soma infinita de uma série geométrica seja
\sum_{n=0}^{\infty}ar^n =\frac{a}{1-r},
é preciso ter |r|<1. Aqui
|r|=| -x^2|=x^2<1
se, e somente se, x\in(-1,1). Portanto, nesse intervalo podemos aplicar a fórmula.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma de série geométrica com a=1 e r=-x^2, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n =\frac{1}{1-(-x^2)} =\frac{1}{1+x^2}.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}=\frac{1}{1+x^{2}}, \quad x\in(-1,1).

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