Mostre que
, si
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
pode ser representada pela série de potências
para
.
O conteúdo envolvido é série de Taylor (Maclaurin) e uso de expansão em série de potências de funções elementares, em particular a expansão de
e a integração de séries term a term.
O conteúdo envolvido é série de Taylor (Maclaurin) e uso de expansão em série de potências de funções elementares, em particular a expansão de
e a integração de séries term a term.
Passo 2
Observamos que
Logo, se conseguirmos expandir
em série de potências válida para
, podemos integrar termo a termo e recuperar
.
Passo 3
Usamos a fórmula da série geométrica
com
. Assim,
válido para
, ou seja,
.
Passo 4
Integramos termo a termo em
:
Como sabemos que
, ao avaliar em
obtemos
. Logo,
para
.