Mostre que \arctan x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots, si |x|<1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função \arctan x pode ser representada pela série de potências
x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \cdots
para |x|<1.
O conteúdo envolvido é série de Taylor (Maclaurin) e uso de expansão em série de potências de funções elementares, em particular a expansão de \frac{1}{1+u}
e a integração de séries term a term.

Passo 2

Observamos que
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr) = \frac{1}{1+x^{2}}.
Logo, se conseguirmos expandir \frac{1}{1+x^{2}} em série de potências válida para |x|<1, podemos integrar termo a termo e recuperar \arctan x.

Passo 3

Usamos a fórmula da série geométrica
\frac{1}{1+u} = 1 - u + u^{2} - u^{3} + \cdots, \quad |u|<1,
com u=x^{2}. Assim,
\frac{1}{1+x^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n},
válido para |x^{2}|<1, ou seja, |x|<1.

Passo 4

Integramos termo a termo em x:
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \int \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int x^{2n}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C.
Como sabemos que \arctan 0=0, ao avaliar em x=0 obtemos C=0. Logo,
\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \cdots,
para |x|<1.

Resposta

\arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \cdots, \quad |x|<1.

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