Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

Resumindo: precisamos encontrar a série de potências centrada em 0 que representa
f(x)=1(1+x)^2
e determinar para quais x essa série converge. O conteúdo usado será a expansão em série geométrica de 11+x e derivação termo a termo.

Passo 2

Lembramos que, para lvert xrvert<1, a série geométrica dá
11+x =sumn=0^infty(-1)^nx^n

Passo 3

Como
ddxl(11+xr) =-1(1+x)^2,
podemos derivar termo a termo a série acima:
ddxl(sumn=0^infty(-1)^nx^nr) =sumn=1^inftyn(-1)^nx^n-1
Logo,
-1(1+x)^2 =sumn=1^inftyn(-1)^nx^n-1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por -1 e trocando o índice m=n-1, obtemos
1(1+x)^2 =sumn=1^infty(-n)(-1)^nx^n-1 =summ=0^infty(m+1)(-1)^mx^m
Renomeando mto n, a série final é
1(1+x)^2 =sumn=0^infty(n+1)(-1)^nx^n

Passo 5

O raio de convergência é o mesmo da série geométrica original, ou seja R=1. Para lvert xrvert<1 a série converge absolutamente. Em x=1 e x=-1 a série diverge (os termos não vão a zero).

Resposta

1(1+x)^2 =sumn=0^infty(n+1)(-1)^nx^n, para -1<x<1

Exercícios relacionados