Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Resumindo: precisamos encontrar a série de potências centrada em
que representa
e determinar para quais
essa série converge. O conteúdo usado será a expansão em série geométrica de
e derivação termo a termo.
Passo 2
Lembramos que, para
, a série geométrica dá
Passo 3
Como
podemos derivar termo a termo a série acima:
Logo,
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
e trocando o índice
, obtemos
Renomeando
, a série final é
Passo 5
O raio de convergência é o mesmo da série geométrica original, ou seja
. Para
a série converge absolutamente. Em
e
a série diverge (os termos não vão a zero).