Investigue a convergência das seguintes séries:
\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n} \quad

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\Bigl(\tfrac{-2n}{\,n+1\,}\Bigr)^{5n}.
O conteúdo principal aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da raiz n-ésima para decidir sobre convergência.

Passo 2

Defina o termo geral
a_n = \Bigl(\tfrac{-2n}{\,n+1\,}\Bigr)^{5n}.
No teste da raiz n-ésima calculamos
\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} =\sqrt[n]{\Bigl\lvert\tfrac{-2n}{\,n+1\,}\Bigr\rvert^{5n}} =\Bigl\lvert\tfrac{-2n}{\,n+1\,}\Bigr\rvert^{5} =\Bigl(\tfrac{2n}{\,n+1\,}\Bigr)^{5}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{\,n+1\,} =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\,1+1/n\,} =2.
Logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} =2^{5}=32.

Passo 4

Pelo teste da raiz n-ésima, se
\displaystyle L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}>1,
então a série diverge. Aqui L=32>1, portanto a série não converge. Além disso, os termos a_n não tendem a zero, confirmando a divergência.

Resposta

A série diverge.

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