Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.]
5. f(x)=sen x, a=pi / 4

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=sin x centrada em a=pi/4. Para isso vamos usar a fórmula
sin x=sumn=0^inftyf^(n)(pi/4)n!(x-pi/4)^n
mas, em vez de calcular diretamente todas as derivadas, é mais prático reescrever sin x como combinação de sin(pi/4+h) com h=x-pi/4 e usar as séries conhecidas de sin e cos.

Passo 2

Defina h = x - pi/4. Então
sin x = sinl(pi/4 + hr) = sin(pi/4)cos(h) + cos(pi/4)sin(h)

Passo 3

Como sin(pi/4)=cos(pi/4)=raiz2/2, obtemos
sin x = raiz22,l(cos h + sin hr)

Passo 4

Lembrando as séries de Maclaurin em h:
cos h = sumk=0^infty(-1)^kh^2k(2k)!, sin h = sumk=0^infty(-1)^kh^2k+1(2k+1)!

Passo 5

Substituindo em sin x:
sin x = raiz22gl( sumk=0^infty(-1)^kh^2k(2k)! ;+; sumk=0^infty(-1)^kh^2k+1(2k+1)! gr)

Passo 6

Voltando a h = x - pi/4, a série de Taylor centrada em pi/4 fica
boxed sin x = raiz22 sumk=0^infty(-1)^k l( (x-pi/4)^2k(2k)! ;+; (x-pi/4)^2k+1(2k+1)! r)

Resposta

sin x = raiz22 sumk=0^infty(-1)^k gl( (x-tfracpi4)^2k(2k)! +(x-tfracpi4)^2k+1(2k+1)! gr)

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