Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
f(x)=\operatorname{tg}^{-1}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a série de potências centrada em zero para \displaystyle f(x)=\operatorname{tg}^{-1}(2x)
e o raio de convergência dessa série. Vamos usar o desenvolvimento de Maclaurin da função inversa da tangente.

Passo 2

Sabemos que para |z|\le1 vale a expansão
\operatorname{tg}^{-1}(z)\;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{z^{2n+1}}{2n+1}.
Basta substituir z=2x. Assim,
\operatorname{tg}^{-1}(2x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(2x)^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\;x^{2n+1}.

Passo 3

Para determinar o raio de convergência R, note que a expansão original converge se |z|<1. Como z=2x, isso equivale a
|2x|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<\tfrac12.
Portanto o raio de convergência é R=\tfrac12.

Resposta

\operatorname{tg}^{-1}(2x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\;x^{2n+1}, \quad R=\tfrac12.

Exercícios relacionados