Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de potências centrada em zero para
e o raio de convergência dessa série. Vamos usar o desenvolvimento de Maclaurin da função inversa da tangente.
e o raio de convergência dessa série. Vamos usar o desenvolvimento de Maclaurin da função inversa da tangente.
Passo 2
Sabemos que para
vale a expansão
Basta substituir
. Assim,
Passo 3
Para determinar o raio de convergência
, note que a expansão original converge se
. Como
, isso equivale a
Portanto o raio de convergência é
.