6^{\mathbf{a}} Questão: (10 pontos) EXTRA Determine a assíntota horizontal do gráfico de
f(x)=2 x+\sqrt{4 x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede a assíntota horizontal do gráfico de
f(x)=2x+\sqrt{4x^{2}+x}.
Para encontrar assíntotas horizontais, estudamos o comportamento de f(x) quando x\to+\infty e quando x\to-\infty, usando expansão para grandes valores de \lvert x\rvert.

Passo 2

Analisando x\to+\infty, temos \lvert x\rvert=x e
\sqrt{4x^{2}+x} = x\sqrt{4+\frac{1}{x}} = x\Bigl(2+\frac{1}{4x}+o\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr) =2x+\frac{1}{4}+o(1).
Logo
f(x) =2x+\bigl(2x+\tfrac{1}{4}+o(1)\bigr) =4x+\tfrac{1}{4}+o(1)\;\longrightarrow\;+\infty,
ou seja, não há assíntota horizontal para x\to+\infty.

Passo 3

Analisando x\to-\infty, agora \lvert x\rvert=-x e
\sqrt{4x^{2}+x} =-x\sqrt{4+\frac{1}{x}} =-x\Bigl(2+\frac{1}{4x}+o\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr) =-2x-\frac{1}{4}+o(1).
Portanto
f(x) =2x+\bigl(-2x-\tfrac{1}{4}+o(1)\bigr) =-\tfrac{1}{4}+o(1) \;\longrightarrow\;-\tfrac{1}{4}.
Isso mostra que, quando x\to-\infty, o gráfico de f se aproxima da reta horizontal \displaystyle y=-\tfrac{1}{4}.

Resposta

A única assíntota horizontal de f é
y=-\frac{1}{4},
no sentido de x\to-\infty.

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