5^{\underline{\mathrm{a}}} Questão: ( 15 pontos) A partir do cálculo de limites, determine o coeficiente angular da reta tangente à curva y=\sqrt{4 x-3} no ponto P(3,3). Em seguida, descreva a equação desta reta tangente.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente angular da reta tangente à curva y = \sqrt{4x - 3}
no ponto P(3,3) usando cálculo de limites, e depois a equação dessa reta. Vamos lembrar que o coeficiente angular da tangente é a derivada f'(x) avaliada em x=3, obtida pela definição de derivada via limite de quociente incremental.

Passo 2

Definimos f(x)=\sqrt{4x-3} e usamos a definição
m = f'(3) = \lim_{h\to0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{\sqrt{4(3+h)-3}-\sqrt{4\cdot3-3}}{h}.
Substituindo f(3)=\sqrt{12-3}=\sqrt{9}=3, fica
\frac{\sqrt{4h+9}-3}{h}.

Passo 3

Racionalizamos multiplicando numerador e denominador por \sqrt{4h+9}+3:
\frac{\sqrt{4h+9}-3}{h}\cdot\frac{\sqrt{4h+9}+3}{\sqrt{4h+9}+3} =\frac{4h+9-9}{h\bigl(\sqrt{4h+9}+3\bigr)} =\frac{4h}{h\bigl(\sqrt{4h+9}+3\bigr)} =\frac{4}{\sqrt{4h+9}+3}.
Tomando h\to0, obtemos
m = \lim_{h\to0}\frac{4}{\sqrt{4h+9}+3} =\frac{4}{3+3} =\frac{4}{6} =\frac{2}{3}.

Passo 4

Com m=\tfrac{2}{3} e sabendo que a reta passa por P(3,3), usamos a forma ponto-inclinação:
y-3 = \frac{2}{3}\,(x-3).
Para isolar y:
y = \frac{2}{3}x -2 +3 =\frac{2}{3}x +1.

Resposta

Coeficiente angular: \displaystyle \frac{2}{3}.
Equação da reta tangente: \displaystyle y = \frac{2}{3}x + 1.

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