Sendo y=y(x), as EDOs lineares de segunda ordem do tipo
a x^{2} y^{\prime \prime}+b x y^{\prime}+c y=0,
onde x>0 e a, b e c \in \mathbb{R} com a \neq 0, são chamadas de equações de Cauchy-Euler do tipo homogêneo. Neste exercício encontraremos sua solução geral.
(a) Mostre que y(x)=x^{m} é solução da EDO (1) sempre que m for solução da equação auxiliar
a m^{2}+(b-a) m+c=0 .
Note que a equação (2) pode ter duas raízes reais e distintas (discriminante positivo), duas raízes reais e iguais (discriminante nulo) ou duas raízes complexas conjugadas (discriminante negativo).
(b) Mostre que se m_{1} e m_{2} são duas raízes reais e distintas de (2), então
y(x)=c_{1} x^{m_{1}}+c_{2} x^{m_{2}},
onde c_{1} e c_{2} \in \mathbb{R}, é a solução geral de (1).
(c) Mostre que se (2) possui duas raízes reais repetidas m_{1}=m_{2}, então
y(x)=c_{1} x^{m_{1}}+c_{2} x^{m_{1}} \ln (x),
onde c_{1} e c_{2} \in \mathbb{R}, é a solução geral de (1).
DICA: Note que y_{1}(x)=x^{m_{1}} é uma solução particular de (1) e use o método de redução de ordem.
(d) Mostre que se m_{1}=\alpha+i \beta e m_{2}=\alpha-i \beta são duas raízes complexas conjugadas de (2), então
y(x)=x^{\alpha}\left[c_{1} \cos (\beta \ln (x))+c_{2} \sin (\beta \ln (x))\right],
onde c_{1} e c_{2} \in \mathbb{R}, é a solução geral de (1).

Passo 1

O enunciado trata da equação de Cauchy–Euler
a\,x^{2}y'' + b\,x\,y' + c\,y = 0,\quad x>0,\;a\neq0,
e pede para (a) mostrar que y=x^{m} é solução se m satisfaz
a\,m^{2} + (b-a)\,m + c = 0,
e em seguida deduzir as soluções gerais nos três casos de raízes da equação auxiliar: (b) duas raízes reais distintas, (c) raiz dupla e (d) raízes complexas conjugadas.

Passo 2

Para testar y=x^{m}, calculamos
y' = m\,x^{m-1}, \quad y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo em
a\,x^{2}y'' + b\,x\,y' + c\,y = 0
obtemos
a\,x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] + b\,x\bigl[m\,x^{m-1}\bigr] + c\,x^{m} = 0,
que se simplifica para
\bigl[a\,m(m-1) + b\,m + c\bigr]\,x^{m} = 0.
Como x^{m}\neq0, a condição é
a\,m^{2} - a\,m + b\,m + c = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\,m^{2} + (b - a)\,m + c = 0.

Passo 3

Suponha que a equação auxiliar tenha duas raízes reais distintas m_{1}\neq m_{2}. Então y_{1}=x^{m_{1}} e y_{2}=x^{m_{2}} são soluções lineares independentes, pois o wronskiano
W(y_{1},y_{2}) = \begin{vmatrix} x^{m_{1}} & x^{m_{2}}\\[6pt] m_{1}x^{m_{1}-1} & m_{2}x^{m_{2}-1} \end{vmatrix} = (m_{2}-m_{1})\,x^{m_{1}+m_{2}-1}\neq0.
Logo a solução geral é
y(x)=c_{1}\,x^{m_{1}} + c_{2}\,x^{m_{2}}.
]

Passo 4

Se as raízes coincidem, m_{1}=m_{2}=m, já temos y_{1}=x^{m}. Para obter y_{2} usamos redução de ordem:
no formato padrão
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y=0
temos P(x)=\tfrac{b}{a}\,\frac1x. A segunda solução é
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{[y_{1}(x)]^{2}}\,dx =x^{m}\int \frac{x^{-\tfrac{b}{a}}}{x^{2m}}\,dx =x^{m}\int x^{-1}\,dx =x^{m}\ln(x).
Logo a solução geral é
y(x)=c_{1}\,x^{m} + c_{2}\,x^{m}\ln(x).

Passo 5

Se as raízes são complexas conjugadas m_{1}=\alpha+i\beta e m_{2}=\alpha-i\beta, então
x^{m_{1}}=x^{\alpha}e^{i\beta\ln x} =x^{\alpha}\bigl[\cos(\beta\ln x)+i\sin(\beta\ln x)\bigr]
e similarmente x^{m_{2}}. As partes real e imaginária formam duas soluções reais independentes, dando a geral
y(x) = x^{\alpha}\bigl[c_{1}\cos(\beta\ln x)+c_{2}\sin(\beta\ln x)\bigr].

Resposta

(a) Admitindo y=x^{m} chega-se à equação auxiliar
a\,m^{2} + (b - a)\,m + c = 0.
(b) Se as raízes reais são distintas m_{1},m_{2},
y(x)=c_{1}\,x^{m_{1}} + c_{2}\,x^{m_{2}}.
(c) Se há raiz dupla m_{1}=m_{2}=m,
y(x)=c_{1}\,x^{m} + c_{2}\,x^{m}\ln(x).
(d) Se as raízes são \alpha\pm i\beta,
y(x) = x^{\alpha}\bigl[c_{1}\cos(\beta\ln x)+c_{2}\sin(\beta\ln x)\bigr].

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