Sendo y=y(x), as EDOs lineares de segunda ordem do tipo
a x^{2} y^{\prime \prime}+b x y^{\prime}+c y=0,
onde x>0 e a, b e c \in \mathbb{R} com a \neq 0, são chamadas de equações de Cauchy-Euler do tipo homogêneo. Neste exercício encontraremos sua solução geral.
(a) Mostre que y(x)=x^{m} é solução da EDO (1) sempre que m for solução da equação auxiliar
a m^{2}+(b-a) m+c=0 .
Note que a equação (2) pode ter duas raízes reais e distintas (discriminante positivo), duas raízes reais e iguais (discriminante nulo) ou duas raízes complexas conjugadas (discriminante negativo).
(b) Mostre que se m_{1} e m_{2} são duas raízes reais e distintas de (2), então
y(x)=c_{1} x^{m_{1}}+c_{2} x^{m_{2}},
onde c_{1} e c_{2} \in \mathbb{R}, é a solução geral de (1).
(c) Mostre que se (2) possui duas raízes reais repetidas m_{1}=m_{2}, então
y(x)=c_{1} x^{m_{1}}+c_{2} x^{m_{1}} \ln (x),
onde c_{1} e c_{2} \in \mathbb{R}, é a solução geral de (1).
DICA: Note que y_{1}(x)=x^{m_{1}} é uma solução particular de (1) e use o método de redução de ordem.
(d) Mostre que se m_{1}=\alpha+i \beta e m_{2}=\alpha-i \beta são duas raízes complexas conjugadas de (2), então
e pede para (a) mostrar que y=x^{m} é solução se m satisfaz
a\,m^{2} + (b-a)\,m + c = 0,
e em seguida deduzir as soluções gerais nos três casos de raízes da equação auxiliar: (b) duas raízes reais distintas, (c) raiz dupla e (d) raízes complexas conjugadas.
a\,m^{2} - a\,m + b\,m + c = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\,m^{2} + (b - a)\,m + c = 0.
Passo 3
Suponha que a equação auxiliar tenha duas raízes reais distintas m_{1}\neq m_{2}. Então y_{1}=x^{m_{1}} e y_{2}=x^{m_{2}} são soluções lineares independentes, pois o wronskiano