Sendo
, encontre a solução geral das EDOs em torno do ponto ordinário
em cada item abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em torno de
. Nosso objetivo é encontrar duas soluções independentes e montar a solução geral.
Passo 2
Colocamos a equação em forma padrão
onde
Passo 3
Buscamos por inspeção uma solução simples. Tentamos
Então
e substituindo em
obtemos
logo
é de fato uma solução.
Passo 4
Para achar a segunda solução
usamos redução de ordem. A fórmula é
Como
segue
Portanto
Fazendo a substituição
ou integrando diretamente, chega-se a
Tomamos como segunda solução
Passo 5
As duas soluções
e
são linearmente independentes, então a solução geral da EDO é