Sendo y=y(x), encontre a solução geral das EDOs em torno do ponto ordinário x=0 em cada item abaixo:
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
(x^2+1)\,y'' + x\,y' - y = 0
É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em torno de x=0. Nosso objetivo é encontrar duas soluções independentes e montar a solução geral.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0,
onde
P(x) = \frac{x}{x^2+1}, \qquad Q(x) = -\frac{1}{x^2+1}.

Passo 3

Buscamos por inspeção uma solução simples. Tentamos
y_1(x)=x.
Então
y_1' = 1, \quad y_1'' = 0,
e substituindo em (x^2+1)y''+x\,y'-y=0 obtemos
(x^2+1)\cdot0 + x\cdot1 - x = 0,
logo y_1(x)=x é de fato uma solução.

Passo 4

Para achar a segunda solução y_2 usamos redução de ordem. A fórmula é
y_2(x) = y_1(x)\,\int \frac{\exp\bigl(-\int P(x)\,dx\bigr)}{y_1(x)^2}\,dx.
Como
\int P(x)\,dx = \int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \tfrac12\ln(1+x^2),
segue
\exp\bigl(-\tfrac12\ln(1+x^2)\bigr) = (1+x^2)^{-1/2}.
Portanto
y_2(x) = x\int \frac{(1+x^2)^{-1/2}}{x^2}\,dx.
Fazendo a substituição x=\tan\theta ou integrando diretamente, chega-se a
y_2(x)=\pm\sqrt{1+x^2}.
Tomamos como segunda solução
y_2(x)=\sqrt{1+x^2}.

Passo 5

As duas soluções y_1 e y_2 são linearmente independentes, então a solução geral da EDO é
y(x) = C_1\,x + C_2\,\sqrt{1+x^2}.

Resposta

y(x) = C_1\,x + C_2\,\sqrt{1+x^2}.

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