Encontre uma representação em série de potências da função f(x) e determine o raio e intervalo de convergência da série obtida.
ln (3+x)

Passo 1

Temos a função f(x)=ln(3+x). O conteúdo aqui é séries de Taylor (séries de potências) centradas em x=0, e vamos usar a expansão conhecida de ln(1+u).

Passo 2

Reescrevemos a função destacando um fator 3: f(x)=ln(3+x)=ln3 + ln\bigl(1+\frac{x}{3}\bigr). Definimos u=\frac{x}{3}, de modo que ln(3+x)=ln3+ln(1+u).

Passo 3

Sabemos que para |u|<1 vale a expansão
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n+1u^nn
Substituindo u=\frac{x}{3} na série acima, obtemos
ln(3+x)=ln3+sumn=1^infty(-1)^n+11nl(x3r)^n =ln3+sumn=1^infty(-1)^n+1x^nn,3^n

Passo 4

Para garantir a convergência da série, exigimos |x/3|<1, ou seja |x|<3. Assim o raio de convergência é R=3.

Passo 5

Examinando os extremos: em x=3 temos u=1 e a série torna-se alternante convergente (condicionalmente) ao ln2, e em x=-3 temos u=-1 e a série diverge. Logo o intervalo de convergência é -3<x≤3.

Resposta

A série de potências centrada em 0 é:
ln(3+x)=ln3+sumn=1^infty(-1)^n+1x^nn,3^n
O raio de convergência é R=3 e o intervalo de convergência é -3<x≤3.

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