Use resultados conhecidos para expandir a função dada em uma série de Maclaurin. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=sen z^2

Passo 1

O exercício pede para a gente encontrar a expansão em série de Maclaurin da função f(z)=sin(z^2) e determinar o raio de convergência R. O assunto é séries de Taylor/Maclaurin de funções inteiras e vamos usar a expansão conhecida de sin w.

Passo 2

Começando pela teoria: sabemos que a série de Maclaurin de sin w é
sin w=sumn=0^infty(-1)^nw^2n+1(2n+1)!
Para obter sin(z^2), basta fazer a substituição w=z^2 nessa série. Assim
sin(z^2)=sumn=0^infty(-1)^n(z^2)^2n+1(2n+1)!
Então
sin(z^2)=sumn=0^infty(-1)^nz^4n+2(2n+1)!

Passo 3

Para achar o raio de convergência R podemos usar o teste da razão. Seja an = (-1)^n1(2n+1)! associado ao termo z^4n+2. Então
limntoinfty|an+1an|= limntoinfty(2n+1)!(2n+3)! =limntoinfty1(2n+3)(2n+2)=0
Como o limite da razão é zero, o raio de convergência é R=infty.

Resposta

A série de Maclaurin é
sin(z^2)=sumn=0^infty(-1)^nz^4n+2(2n+1)!
e o raio de convergência é R=infty.

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