Use resultados conhecidos para expandir a função dada em uma série de Maclaurin. Dê o raio de convergência de cada série.
Passo 1
O exercício pede para a gente encontrar a expansão em série de Maclaurin da função e determinar o raio de convergência . O assunto é séries de Taylor/Maclaurin de funções inteiras e vamos usar a expansão conhecida de .
Passo 2
Começando pela teoria: sabemos que a série de Maclaurin de é
Para obter , basta fazer a substituição nessa série. Assim
Então
Passo 3
Para achar o raio de convergência podemos usar o teste da razão. Seja associado ao termo . Então
Como o limite da razão é zero, o raio de convergência é R=infty.