Encontre uma representação em série de potências da função f(x) e determine o raio e intervalo de convergência da série obtida.

Passo 1

O enunciado nos pede para achar a expansão em série de potências de f(x)=arctan(x/3) e determinar o raio e o intervalo de convergência. O conteúdo usado será a expansão de Maclaurin de arctan(z) e depois faremos a substituição z=x/3.

Passo 2

A teoria diz que a função arctan(z) admite a série de Maclaurin validal para |z|<1:
arctan(z)=sumn=0^infty(-1)^nz^2n+12n+1

Passo 3

Agora basta colocar z=x/3 na expressão acima. Assim obtemos
$$\arctan\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)^{2n+1}}{2n+1}
arctanl(tfracx3r)=sumn=0^infty(-1)^nl(tfracx3r)^2n+12n+1 \arctan\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{x{2n+1}}{(2n+1),3{2n+1}}.
$$

Passo 4

Para achar o raio de convergência R usamos a condição |x/3|<1, o que dá |x|<3. Logo o raio é R=3.

Passo 5

Precisamos ver se a série converge também em x=±3. Em x=3 ela vira
$$\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{1}{2n+1},
$$
que converge pelo critério da série alternada. Em x=-3 obtemos outra série alternada convergente. Assim o intervalo de convergência é [-3,3].

Resposta

[\arctan\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{x{2n+1}}{(2n+1),3{2n+1}},\quad R=3,\quadintervalo de convergência[-3,3].

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