Resolva as equaçÔes diferenciais abaixo:
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de ordem 5 com coeficientes constantes
Conteúdo: método do polinômio característico, tratamento de raízes múltiplas e conversão para solução real.
Conteúdo: método do polinômio característico, tratamento de raízes múltiplas e conversão para solução real.
Passo 2
Substituímos a hipótese y=e^{rx} na equação para obter a equação característica.
Passo 3
Fatoramos o polinômio em r:
Passo 4
Reconhecemos que r^4 + 2r^2 + 1 é um quadrado perfeito:
Assim as raízes são r=0 (multiplicidade 1) e r=±i (cada uma com multiplicidade 2).
Passo 5
Para uma raiz r de multiplicidade m, introduzimos termos x^k e^{rx}, k=0,…,m−1. Logo a solução geral complexa é
Passo 6
Usando as fórmulas de Euler e combinando constantes, transformamos em solução real. Chegamos a