Resolva as equaçÔes diferenciais abaixo:
y^(v)+2 y^prime prime prime+y^prime=0

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de ordem 5 com coeficientes constantes
Conteúdo: método do polinômio característico, tratamento de raízes múltiplas e conversão para solução real.

Passo 2

Substituímos a hipótese y=e^{rx} na equação para obter a equação característica.
r^5 + 2r^3 + r = 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio em r:
r^5 + 2r^3 + r = rl(r^4 + 2r^2 + 1r) = 0

Passo 4

Reconhecemos que r^4 + 2r^2 + 1 é um quadrado perfeito:
r^4 + 2r^2 + 1 = (r^2 + 1)^2
Assim as raízes são r=0 (multiplicidade 1) e r=±i (cada uma com multiplicidade 2).

Passo 5

Para uma raiz r de multiplicidade m, introduzimos termos x^k e^{rx}, k=0,…,m−1. Logo a solução geral complexa é
y(x)=C1e^0x + C2e^ix + C3x e^ix + C4e^-ix + C5x e^-ix

Passo 6

Usando as fórmulas de Euler e combinando constantes, transformamos em solução real. Chegamos a
y(x)=C1 + (C2 + C3x),cos x + (C4 + C5x),sin x

Resposta

y(x)=C1 + l(C2 + C3xr)cos x + l(C4 + C5xr)sin x

Exercícios relacionados