Mostre que se integrala^infty f(x) d x converge então integrala^infty c f(x) d x também converge para todo c.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se a integral imprópria integrala^infty f(x),dx converge, então a integral integrala^infty c,f(x),dx também converge para qualquer constante c. O conteúdo principal aqui é a linearidade das integrais impróprias e vamos usar a definição de convergência via limite de integrais sobre intervalos finitos.

Passo 2

Por definição, dizemos que integrala^infty f(x),dx converge se o limite abaixo existe e é finito:
I = limRtoinfty integrala^R f(x),dx,
com IinR.

Passo 3

Em cada intervalo finito [a,R], a integral de Riemann satisfaz a propriedade de linearidade, ou seja,
integrala^R c,f(x),dx = c integrala^R f(x),dx
Isso vale para toda constante c, pois podemos fatorá-la para fora da integral num intervalo finito.

Passo 4

Agora basta passar ao limite quando Rtoinfty. Temos:
limRtoinfty integrala^R c,f(x),dx = limRtoinfty l(c integrala^R f(x),dxr)
Como c é constante, pode sair do limite:
= c limRtoinfty integrala^R f(x),dx = c,I
Esse limite existe e é finito pois assumimos que integrala^infty f(x),dx converge.

Passo 5

Portanto, concluímos que integrala^infty c,f(x),dx converge e ainda satisfaz
integrala^infty c,f(x),dx = c integrala^infty f(x),dx

Resposta

A integral integrala^infty c,f(x),dx converge e seu valor é c integrala^infty f(x),dx.

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