Mostre que se
converge então
também converge para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se a integral imprópria
converge, então a integral
também converge para qualquer constante
. O conteúdo principal aqui é a linearidade das integrais impróprias e vamos usar a definição de convergência via limite de integrais sobre intervalos finitos.
Passo 2
Por definição, dizemos que
converge se o limite abaixo existe e é finito:
com
Passo 3
Em cada intervalo finito
, a integral de Riemann satisfaz a propriedade de linearidade, ou seja,
Isso vale para toda constante
Passo 4
Agora basta passar ao limite quando
. Temos:
Como
Esse limite existe e é finito pois assumimos que
converge.
Passo 5
Portanto, concluímos que
converge e ainda satisfaz
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.