Encontre uma representação em série de potências para a função f abaixo e determine o intervalo de convergência:
f(x)=\operatorname{arctg}(2 x))
Passo 1
O enunciado pede a série de potências de
f(x)=\arctan(2x)
e o seu intervalo de convergência.
O conteúdo é série de Taylor (Maclaurin) e vamos usar a ideia de expandir a derivada em série geométrica e, em seguida, integrar termo a termo.
Passo 2
Calculemos a derivada de f. Como \frac{d}{dx}\arctan(u)=\frac{u'}{1+u^2}, temos
f'(x)=\frac{2}{1+(2x)^2} =\frac{2}{1+4x^2}.
Para \lvert 4x^2\rvert<1 podemos usar a expansão geométrica
A série converge se 4|x|^2<1, i.e.\ |x|<\tfrac{1}{2}. Logo o raio é R=\tfrac{1}{2}.
Passo 5
Nos pontos extremos |x|=\tfrac12, a série vira \displaystyle\sum(-1)^n\frac{2}{2n+1} ou seu simétrico, que converge condicionalmente por ser série alternada com termos decrescentes em módulo.
Resposta
\arctan(2x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\,x^{2n+1}, \quad \text{intervalo de convergência }[-\tfrac12,\tfrac12].ê