Encontre uma representação em série de potências para a função f abaixo e determine o intervalo de convergência:
f(x)=\operatorname{arctg}(2 x))

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
f(x)=\arctan(2x)
e o seu intervalo de convergência.
O conteúdo é série de Taylor (Maclaurin) e vamos usar a ideia de expandir a derivada em série geométrica e, em seguida, integrar termo a termo.

Passo 2

Calculemos a derivada de f. Como \frac{d}{dx}\arctan(u)=\frac{u'}{1+u^2}, temos
f'(x)=\frac{2}{1+(2x)^2} =\frac{2}{1+4x^2}.
Para \lvert 4x^2\rvert<1 podemos usar a expansão geométrica
\frac{1}{1+4x^2} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bigl(4x^2\bigr)^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n4^n\,x^{2n}.
Multiplicando por 2,
f'(x) =2\,\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n4^n\,x^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^{2n+1}\,x^{2n}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo, lembrando que f(0)=\arctan(0)=0 fixa a constante de integração em zero:
f(x) =\int_{0}^{x}f'(t)\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^{2n+1}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^{2n+1}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Portanto
\boxed{ \arctan(2x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\,x^{2n+1} }.

Passo 4

Para determinar o raio de convergência, aplicamos o critério da razão a
\displaystyle a_n x^{2n+1} com a_n=(-1)^n\frac{2^{2n+1}}{2n+1}.
Calcula-se
\lim_{n\to\infty} \Bigl|\frac{a_{n+1}\,x^{2n+3}}{a_n\,x^{2n+1}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}4\,|x|^2\frac{2n+1}{2n+3} =4|x|^2.
A série converge se 4|x|^2<1, i.e.\ |x|<\tfrac{1}{2}. Logo o raio é R=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Nos pontos extremos |x|=\tfrac12, a série vira
\displaystyle\sum(-1)^n\frac{2}{2n+1} ou seu simétrico, que converge condicionalmente por ser série alternada com termos decrescentes em módulo.

Resposta

\arctan(2x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\,x^{2n+1}, \quad \text{intervalo de convergência }[-\tfrac12,\tfrac12].ê

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