Encontre uma representação em série de potências da função f(x) e determine o raio e intervalo de convergência da série obtida.
f(x)=x^3(x-2)^2

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de potências em torno de zero a função f(x)=x^3(x-2)^2 e, em seguida, determinar o raio e o intervalo de convergência. Isso cai no conteúdo de séries de potências usando a expansão binomial para expressões da forma (1-u)^-2.

Passo 2

Reescrevemos f(x) de modo a obter um fator (1-u)^-2. Note que
x-2=-2l(1-tfracx2r)
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(x-2)^2=4l(1-tfracx2r)^2
e assim
f(x)=x^34,(1-tfracx2)^2=tfrac14,x^3,(1-tfracx2)^-2

Passo 3

Usamos a série binomial generalizada para expoente -2:
(1-u)^-2=sumn=0^infty(n+1),u^npara |u|<1

Passo 4

Fazendo a substituição u=tfracx2 e multiplicando por tfrac14x^3, obtemos
f(x)&=tfrac14,x^3sumn=0^infty(n+1)l(tfracx2r)^n &=sumn=0^inftyn+14,2^n;x^n+3

Passo 5

Reindexando para que a potência de x seja x^k com k=n+3, temos n=k-3 e n+1=k-2. Assim
f(x)=sumk=3^inftyk-24,2^k-3;x^k =sumk=3^inftyk-22^k-1;x^k

Passo 6

Para a convergência, a expansão binomial exigiu |u|<1, ou seja |x/2|<1. Daí o raio de convergência é R=2 e o intervalo de convergência fica
-2.

Resposta

f(x)=sumn=3^inftyn-22^n-1,x^n
Raio de convergência: R=2
Intervalo de convergência: -2

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