Encontre uma representação em série de potências da função
e determine o raio e intervalo de convergência da série obtida.
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver em série de potências em torno de zero a função
e, em seguida, determinar o raio e o intervalo de convergência. Isso cai no conteúdo de séries de potências usando a expansão binomial para expressões da forma
.
Passo 2
Reescrevemos
de modo a obter um fator
. Note que
logo
e assim
Passo 3
Usamos a série binomial generalizada para expoente
:
Passo 4
Fazendo a substituição
e multiplicando por
, obtemos
Passo 5
Reindexando para que a potência de
seja
com
, temos
e
. Assim
Passo 6
Para a convergência, a expansão binomial exigiu
, ou seja
. Daí o raio de convergência é
e o intervalo de convergência fica
.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: