Nos exercícios 1 a 18, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
integral-infty^infty x cosh x d x

Passo 1

Estamos analisando a integral imprópria integral-infty^infty x,cosh x,dx. O conteúdo aqui é integral imprópria em intervalo ilimitado e teste de convergência usando paridade de função.

Passo 2

Observamos que cosh x é uma função par ( cosh(-x)=cosh x) e x é função ímpar. Logo o produto xcosh x é função ímpar. Para uma função ímpar em intervalo simétrico [-A,A], se a integral existir, seu valor seria zero.
Mesmo assim, precisamos verificar se a integral
integral-infty^infty xcosh x,dx realmente converge. Devido à paridade, basta checar a convergência de
integral0^infty xcosh x,dx.

Passo 3

Escrevendo cosh x em termos de exponenciais, temos
integral0^infty xcosh x,dx = 12integral0^infty x e^x,dx + 12integral0^infty x e^-x,dx

Passo 4

Analisamos cada termo separadamente. Para o primeiro:
integral0^infty x e^x,dx
note que e^x cresce exponencialmente, então mesmo após integração por partes o limite no infinito será infinito. Portanto este termo diverge.
Como um dos termos diverge, a integral integral0^infty xcosh x,dx diverge. Consequentemente, a integral original em ( -infty, infty) também diverge.

Resposta

A integral diverge.

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