Use resultados conhecidos para expandir a função dada em uma série de Maclaurin. Dê o raio de convergência de cada série.
Passo 1
O enunciado pede para expor em série de Maclaurin a função e encontrar o raio de convergência . Vamos usar a expansão conhecida de e depois adaptar para , multiplicando por .
Passo 2
Lembrando que a série de Maclaurin de é . Aplicando , obtemos:
Passo 3
Agora multiplicamos essa expansão por para obter :
Passo 4
Para achar o raio de convergência , usamos o teste da razão. Considere o termo geral , com e zeros nos outros índices. Observando que cresce mais rápido que qualquer potência, temos