Use resultados conhecidos para expandir a função dada em uma série de Maclaurin. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=z e^-z^2

Passo 1

O enunciado pede para expor em série de Maclaurin a função f(z)=z e^-z^2 e encontrar o raio de convergência R. Vamos usar a expansão conhecida de e^u e depois adaptar para u=-z^2, multiplicando por z.

Passo 2

Lembrando que a série de Maclaurin de e^u é e^u=sumn=0^infty u^nn!. Aplicando u=-z^2, obtemos:
e^-z^2 = sumn=0^infty (-z^2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n z^2nn!

Passo 3

Agora multiplicamos essa expansão por z para obter f(z):
z e^-z^2 = sumn=0^infty (-1)^n z^2n+1n!

Passo 4

Para achar o raio de convergência R, usamos o teste da razão. Considere o termo geral an z^n, com a2n+1=(-1)^n/n! e zeros nos outros índices. Observando que n! cresce mais rápido que qualquer potência, temos
limntoinfty |anan+1| = infty,
o que implica R=infty.

Resposta

A série de Maclaurin é
z e^-z^2 = sumn=0^infty (-1)^n z^2n+1n!,
e o raio de convergência é R = infty.

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