Encontre uma representação em série de potências da função
e determine o raio e intervalo de convergência da série obtida.
Passo 1
O exercício pede para desenvolver em série de potências a função f(x)=arctan(2x), identificando também o raio e o intervalo de convergência. O tema é série de Taylor (Maclaurin) e vamos precisar do desenvolvimento conhecido de arctan(u) e de testes de convergência.
Passo 2
Para começar, lembramos que a expansão de Maclaurin de arctan(u) é:
válida para |u|<1. Isso vem de integrar a série de 1/(1+u^2).
Agora basta substituir u=2x em cada termo:
Agora basta substituir u=2x em cada termo:
Passo 3
Para achar o raio de convergência, usamos a condição |u|<1 em u=2x, ou seja |2x|<1. Assim o raio é R=1/2.
Por fim, nos extremos x=±1/2 temos u=±1 e a série vira
Por fim, nos extremos x=±1/2 temos u=±1 e a série vira
que converge por ser série alternada decrescente em módulo (critérios de Leibniz). Logo o intervalo de convergência é [−1/2, 1/2].