Encontre uma representação em série de potências da função f(x) e determine o raio e intervalo de convergência da série obtida.
f(x)=arctan (2 x)

Passo 1

O exercício pede para desenvolver em série de potências a função f(x)=arctan(2x), identificando também o raio e o intervalo de convergência. O tema é série de Taylor (Maclaurin) e vamos precisar do desenvolvimento conhecido de arctan(u) e de testes de convergência.

Passo 2

Para começar, lembramos que a expansão de Maclaurin de arctan(u) é:
arctan(u)=sumn=0^infty(-1)^nu^2n+12n+1,
válida para |u|<1. Isso vem de integrar a série de 1/(1+u^2).
Agora basta substituir u=2x em cada termo:
f(x)=arctan(2x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n+12n+1 =sumn=0^infty(-1)^n2^2n+1,x^2n+12n+1

Passo 3

Para achar o raio de convergência, usamos a condição |u|<1 em u=2x, ou seja |2x|<1. Assim o raio é R=1/2.
Por fim, nos extremos x=±1/2 temos u=±1 e a série vira
sumn=0^infty(-1)^n(±1)^2n+12n+1=sumn=0^infty(-1)^n+112n+1,
que converge por ser série alternada decrescente em módulo (critérios de Leibniz). Logo o intervalo de convergência é [−1/2, 1/2].

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^n2^2n+1,x^2n+12n+1,;R=tfrac12,;intervalo de convergência [−tfrac12,;tfrac12]ê.

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