Encontre a serie de Maclaurin da função
e determine o seu raio de convergência:
Passo 1
Temos a função
. Queremos obter sua série de Maclaurin (desenvolvimento em torno de 0) e o raio de convergência. Para isso vamos usar a expansão conhecida de
e depois multiplicar por
.
Passo 2
A série de Maclaurin de
é dada por:
Multiplicando ambos os lados por
$$
x\arctan(x)=\sum_{n=0}\infty(-1)n\frac{x^{2n+2}}{2n+1}$$
Passo 3
Para determinar o raio de convergência, consideramos o termo geral da série
$$
a_n = (-1)n\frac{x{2n+2}}{2n+1}
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|{2n+4}/(2n+3)}{|x|{2n+2}/(2n+1)}
=|x|^2\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}
=|x|^2.
=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|{2n+4}/(2n+3)}{|x|{2n+2}/(2n+1)}
=|x|^2\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}
=|x|^2.
$$
Para convergência, precisamos de , ou seja
. Logo, o raio de convergência é
.
Para convergência, precisamos de
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
e o raio de convergência é
.