Encontre a serie de Maclaurin da função f(x) e determine o seu raio de convergência:
x arctan (x)

Passo 1

Temos a função f(x)=xarctan(x). Queremos obter sua série de Maclaurin (desenvolvimento em torno de 0) e o raio de convergência. Para isso vamos usar a expansão conhecida de arctan(x) e depois multiplicar por x.

Passo 2

A série de Maclaurin de arctan(x) é dada por:
arctan(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1
Multiplicando ambos os lados por x, obtemos a série de f(x)=xarctan(x):
$$
x\arctan(x)=\sum_{n=0}\infty(-1)n\frac{x^{2n+2}}{2n+1}$$

Passo 3

Para determinar o raio de convergência, consideramos o termo geral da série
$$
a_n = (-1)n\frac{x{2n+2}}{2n+1} an = (-1)^nx^2n+22n+1ã
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|{2n+4}/(2n+3)}{|x|{2n+2}/(2n+1)}
=|x|^2\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}
=|x|^2.
$$
Para convergência, precisamos de limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x|^2n+4/(2n+3)|x|^2n+2/(2n+1) =|x|^2limntoinfty2n+12n+3 =|x|^2 , ou seja |x|^2<1. Logo, o raio de convergência é |x|<1.

Resposta

A série de Maclaurin de xarctan(x) é:
sumn=0^infty(-1)^nx^2n+22n+1
e o raio de convergência é R=1.

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