Resolva as equaçÔes diferenciais abaixo:
y^(i v)+y=0

Passo 1

Estamos com uma equação diferencial de quarta ordem, linear e homogênea de coeficientes constantes: y^(iv) + y = 0. Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a EDO em uma equação algébrica.

Passo 2

Supondo uma solução do tipo y = e^r x, ao substituir na EDO obtemos a equação característica
r^4 + 1 = 0

Passo 3

Para resolver r^4 + 1 = 0 escrevemos -1 = e^ipi e temos as raízes complexas de quarta unidade deslocadas em pi/4:
rk = e^il(pi4 + kpi2r), k=0,1,2,3
Elas são
r1 = tfrac1raiz2 + tfraciraiz2, r2 = -tfrac1raiz2 + tfracitfracraiz2, r3 = -tfrac1raiz2 - tfraciraiz2, r4 = tfrac1raiz2 - tfraciraiz2
Agrupando em pares conjugados e reescrevendo em termos reais, chegamos à forma geral da solução. As raízes formam dois pares de conjugados com parte real pm1/raiz2 e parte imaginária pm1/raiz2. Assim a solução geral real é combinação linear de funções exponenciais e trigonométricas.

Resposta

y(x)=e^tfracxraiz2l(C1costfracxraiz2+C2sintfracxraiz2r)+e^-tfracxraiz2l(C3costfracxraiz2+C4sintfracxraiz2r)

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