) A integral da função f(x)=\ln (x) é feita pelo método de integração por partes, fazendo \int \ln (x) d x= \int \underbrace{1}_{d u} \cdot \underbrace{\ln (x) d x}_{d v}=x \ln (x)-\int x \cdot \frac{1}{x} d x=x \ln (x)-x+c. Utilize esta mesma técnica, de multiplicar o integrando por 1, para calcular \int \operatorname{arccos} (x) d x. É dado que \frac{d(\operatorname{arccos} (x))}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
\begin{aligned} & \int \operatorname{arccos} x d x=\int 1 \cdot \operatorname{arccos} (x) d x= \\\ & =x \cdot \operatorname{arccos} (x)-\int-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x= \\\ & =x \cdot \operatorname{arccos} (x)+\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x= \\\ & \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\begin{array}{l} \mu=1-x^{2} \Rightarrow d y=-2 x \\\ \frac{d u}{-2}=x d x \end{array} \\\ & =\frac{-a x / 2}{\sqrt{u}}= \\\ & =-\frac{1}{2} \int x^{-1 / 2} d x=\frac{-1}{2} \cdot \frac{u^{-1 / 2+1}}{\frac{-1}{2}+1}+c=-\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1 / 2}}{1 / 2}+c= \\\ & =-\sqrt{1-x^{2}}+c \\\ & \pm x \cdot \operatorname{arccos} (x)-\sqrt{1-x^{2}}+c \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{arccos}(x)\,dx
usando integração por partes. Vamos precisar da fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e da derivada \frac{d}{dx}[\operatorname{arccos}(x)] = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 2

Escolhemos
u = \operatorname{arccos}(x), \quad dv = dx.
Então
du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx
e
v = x.

Passo 3

Aplicando integração por partes:
\int \operatorname{arccos}(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\operatorname{arccos}(x) - \int x\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr)dx.

Passo 4

Simplificando o sinal dentro da integral:
x\operatorname{arccos}(x) + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Passo 5

Para avaliar
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx
fazemos a substituição
w = 1 - x^2, \quad dw = -2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\tfrac12\,dw.
Logo
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \int \frac{x\,dx}{\sqrt{w}} = -\tfrac12\int w^{-1/2}\,dw = -\tfrac12\cdot\frac{w^{1/2}}{\tfrac12} + C = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^2} + C.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão obtida em partes e reunindo as constantes:
\int \operatorname{arccos}(x)\,dx = x\operatorname{arccos}(x) - \sqrt{1-x^2} + C.

Resposta

\int \operatorname{arccos}(x)\,dx = x\operatorname{arccos}(x) - \sqrt{1-x^2} + C

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