) A função f(x)=\operatorname{cosh} (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} é chamada função cosseno hiperbólico e f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} é chamada seno hiperbólico f(x)=\operatorname{senh}(x). Mostre que, usando métodos de integração, \int \operatorname{cosh} (x) d x é igual, a menos de uma constante, a g(x)=\operatorname{senh}(x).
\begin{aligned} & \int \operatorname{cosh} (x) d x=\int \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} d x= \\\ & =\frac{1}{2}\left(\int e^{x} d x+\int e^{-x} d x\right)=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right)+c= \\\ & =\operatorname{senh}(x)+c . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{cosh}(x)\,dx
sabendo que \operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
e que a função seno hiperbólico é \operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Vamos usar a definição de \operatorname{cosh}(x) em termos de exponenciais e as regras básicas de integração.

Passo 2

Substituímos \operatorname{cosh}(x) pela sua expressão em exponenciais:
\int \operatorname{cosh}(x)\,dx =\int \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)\,dx.

Passo 3

Separamos a integral em duas:
\frac{1}{2}\int e^{x}\,dx +\frac{1}{2}\int e^{-x}\,dx.
Aplicamos a regra \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}.

Passo 4

Calculamos cada parte:
\int e^{x}\,dx = e^{x}, \qquad \int e^{-x}\,dx = -\,e^{-x}.
Logo,
\frac{1}{2}\int e^{x}\,dx +\frac{1}{2}\int e^{-x}\,dx =\frac{1}{2}\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)+C.

Passo 5

Reconhecemos que
\frac{1}{2}\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)=\operatorname{senh}(x).
Portanto
\int \operatorname{cosh}(x)\,dx =\operatorname{senh}(x)+C.

Resposta

\int \operatorname{cosh}(x)\,dx = \operatorname{senh}(x) + C.

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