Verifique se os pares de funções abaixo são L.D. ou L.I.
f(x)=1+x e g(x)=1+|x|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se as funções f(x) = 1 + x e g(x) = 1 + |x| são linearmente dependentes (L.D.) ou linearmente independentes (L.I.). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que envolvem combinações lineares de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa duas funções serem linearmente dependentes ou independentes. Duas funções são linearmente dependentes se uma delas pode ser escrita como múltiplo da outra. Caso contrário, elas são linearmente independentes. Em termos matemáticos, queremos ver se existe algum número (não zero) que multiplique uma função para dar a outra.

Passo 3

Para testar isso, vamos tentar encontrar constantes alpha e beta tais que:
alpha f(x) + beta g(x) = 0
Isso precisa ser verdadeiro para todo valor de x . Se conseguirmos achar valores de alpha e beta que não sejam ambos zero que satisfazem essa equação, as funções são L.D. Se a única solução for alpha = 0 e beta = 0 , elas são L.I.

Passo 4

Substituindo as funções na equação, temos:
alpha (1 + x) + beta (1 + |x|) = 0
Vamos analisar isso para diferentes valores de x :
  1. Para x >= 0 :
alpha (1 + x) + beta (1 + x) = (alpha + beta)(1 + x) = 0
Isso implica que alpha + beta = 0 .
  1. Para x < 0 :
alpha (1 + x) + beta (1 - x) = (alpha + beta) + (alpha - beta)x = 0
Já sabemos que alpha + beta = 0 , então:
(alpha - beta)x = 0
Para isso ser verdade para todo x , precisamos que alpha - beta = 0 .
Resolvendo as duas equações:
alpha + beta = 0
alpha - beta = 0
Somando as duas, obtemos 2alpha = 0 então alpha = 0 . E daí, beta = 0 .

Resposta

Como a única solução é alpha = 0 e beta = 0 , as funções f(x) = 1 + x e g(x) = 1 + |x| são linearmente independentes.

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