Use a série binomial para expandir:
(h)
(h)
Passo 1
O que o enunciado pede: expandir a expressão
em série de potências em torno de
(ou seja, uma série do tipo potência de
).\n
Informações dadas: a função é . O expoente é
. Não há outras condições explícitas no enunciado.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vamos recordar a fórmula da série binomial generalizada (essa é a ferramenta que o enunciado pediu para usar). Para qualquer número real (ou complexo)
vale, para
,
onde definimos o coeficiente binomial generalizado por
para
e
.\n
Explicação didática: esse generaliza o binomial habitual. Se
for inteiro não negativo, recuperamos os coeficientes clássicos. Para
negativo ou não inteiro, a fórmula acima ainda vale e fornece os coeficientes da série de potências válida em
. Cada símbolo aqui significa:
Explicação didática: esse
-
: o expoente geral da potência. -
: índice da soma (termos). -
: a quantidade que aparece dentro do parêntese além de .
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso, tomamos
e
. Logo,
Aqui paramos um pouco para entender o que é
(ainda não vamos escrever a soma final completa; primeiro vamos simplificar esse coeficiente).
Passo 4
Calculemos
de forma explícita e simples. Pela definição,
Observe que são
fatores no numerador, todos negativos. Podemos retirar um fator
e reescrever os fatores positivos:
O produto
é
(pois
, dividindo por
sobra o produto de
até
). Assim
Comentário amigável: isso significa que os coeficientes binomiais para
são polinômios simples em
, multiplicados por
.
Passo 5
Agora substituímos esse
na expressão da série (aqui apenas escrevo o termo geral; a soma completa e a resposta final ficará no item final):
o termo geral em é
o termo geral em
Para ficar claro o formato do coeficiente: o coeficiente de
é
Passo 6
Vamos calcular os primeiros termos (isso ajuda a fixar e é útil na prova para checar resultados):
-
: . Termo: . -
: . Termo: . -
: . Termo: . -
: . Termo: . -
: . Termo: .\n
Assim os primeiros termos são.
Passo 7
Quanto ao raio/intervalo de validade: a série binomial geral converge para
, onde
no nosso caso. Portanto a condição de convergência é
Uma forma rápida de ver isso é notar que a série é uma série em potências de
com os coeficientes de ordem polinomial em
; por testes de razão ou pelo teorema padrão da série binomial, chega-se à condição
.