Use a série binomial para expandir:
(h) (1+2 x)^{-3}

Passo 1

O que o enunciado pede: expandir a expressão (1+2x)^{-3} em série de potências em torno de x=0 (ou seja, uma série do tipo potência de x).\n
Informações dadas: a função é (1+2x)^{-3}. O expoente é -3. Não há outras condições explícitas no enunciado.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula da série binomial generalizada (essa é a ferramenta que o enunciado pediu para usar). Para qualquer número real (ou complexo) \alpha vale, para |t|<1,
(1+t)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}t^{k},
onde definimos o coeficiente binomial generalizado por
\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}
para k\ge 1 e \binom{\alpha}{0}=1.\n
Explicação didática: esse \binom{\alpha}{k} generaliza o binomial habitual. Se \alpha for inteiro não negativo, recuperamos os coeficientes clássicos. Para \alpha negativo ou não inteiro, a fórmula acima ainda vale e fornece os coeficientes da série de potências válida em |t|<1. Cada símbolo aqui significa:
  • \alpha: o expoente geral da potência.
  • k: índice da soma (termos).
  • t: a quantidade que aparece dentro do parêntese além de 1.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, tomamos \alpha=-3 e t=2x. Logo,
(1+2x)^{-3}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-3}{k}(2x)^{k}.
Aqui paramos um pouco para entender o que é \binom{-3}{k} (ainda não vamos escrever a soma final completa; primeiro vamos simplificar esse coeficiente).

Passo 4

Calculemos \binom{-3}{k} de forma explícita e simples. Pela definição,
\binom{-3}{k}=\frac{(-3)(-4)(-5)\cdots(-3-k+1)}{k!}.
Observe que são k fatores no numerador, todos negativos. Podemos retirar um fator (-1)^k e reescrever os fatores positivos:
(-3)(-4)\cdots(-3-k+1)=(-1)^k \, 3\cdot 4\cdot 5\cdots (k+2).
O produto 3\cdot 4\cdot\cdots\cdot (k+2) é \dfrac{(k+2)!}{2!} (pois (k+2)! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots (k+2), dividindo por 1\cdot 2=2! sobra o produto de 3 até k+2). Assim
\binom{-3}{k}=(-1)^k\frac{(k+2)!}{2!\,k!}=(-1)^k\frac{(k+2)(k+1)}{2}.
Comentário amigável: isso significa que os coeficientes binomiais para \alpha=-3 são polinômios simples em k, multiplicados por (-1)^k.

Passo 5

Agora substituímos esse \binom{-3}{k} na expressão da série (aqui apenas escrevo o termo geral; a soma completa e a resposta final ficará no item final):
o termo geral em x^{k} é
\binom{-3}{k}(2x)^{k}=(-1)^k\frac{(k+2)(k+1)}{2}\,2^{k}x^{k}.
Para ficar claro o formato do coeficiente: o coeficiente de x^{k} é
a_k = (-1)^k\frac{(k+2)(k+1)}{2}\,2^{k}.

Passo 6

Vamos calcular os primeiros termos (isso ajuda a fixar e é útil na prova para checar resultados):
  • k=0: a_0 = (-1)^0\frac{(0+2)(0+1)}{2}2^{0}=1. Termo: 1.
  • k=1: a_1 = (-1)^1\frac{3\cdot 2}{2}2^{1} = - (3) \cdot 2 = -6. Termo: -6x.
  • k=2: a_2 = (-1)^2\frac{4\cdot 3}{2}2^{2} = (6)\cdot 4 = 24. Termo: 24x^{2}.
  • k=3: a_3 = (-1)^3\frac{5\cdot 4}{2}2^{3} = - (10)\cdot 8 = -80. Termo: -80x^{3}.
  • k=4: a_4 = (-1)^4\frac{6\cdot 5}{2}2^{4} = (15)\cdot 16 = 240. Termo: 240x^{4}.\n
    Assim os primeiros termos são 1-6x+24x^{2}-80x^{3}+240x^{4}-\cdots.

Passo 7

Quanto ao raio/intervalo de validade: a série binomial geral converge para |t|<1, onde t=2x no nosso caso. Portanto a condição de convergência é
|2x|<1\quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\tfrac{1}{2}.
Uma forma rápida de ver isso é notar que a série é uma série em potências de t=2x com os coeficientes de ordem polinomial em k; por testes de razão ou pelo teorema padrão da série binomial, chega-se à condição |t|<1.

Resposta

(1+2x)^{-3}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\binom{k+2}{2}2^{k}x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(k+2)(k+1)}{2}\,2^{k}x^{k}
=1-6x+24x^{2}-80x^{3}+240x^{4}-\cdots
|x|<\tfrac{1}{2}

Exercícios relacionados