Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos descobrir qual é o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções exponenciais (
) se comportam em comparação com funções polinomiais (
) quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico quando
fica muito grande. Se não se aproxima, ela diverge. Então, queremos ver o que acontece com
quando
vai para o infinito.
Passo 3
Vamos analisar o crescimento das duas partes da fração:
-
é uma função exponencial, que cresce muito rapidamente à medida que aumenta. -
é uma função polinomial de grau 10, que também cresce, mas de forma muito mais lenta comparada a funções exponenciais.
Passo 4
Como
cresce muito mais rápido que
, o numerador da nossa fração está aumentando muito mais rápido do que o denominador. Isso significa que
vai ficar cada vez maior conforme
aumenta.
Passo 5
Para formalizar, podemos usar o fato de que, para qualquer polinômio
, a função
sempre vai crescer mais rápido. Portanto, o limite de
quando
tende ao infinito é infinito.
Resposta
A sequência
diverge para infinito.