Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
{e^n/n^10}_{n=1}^{infinito}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos descobrir qual é o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções exponenciais ( ) se comportam em comparação com funções polinomiais ( ) quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico quando fica muito grande. Se não se aproxima, ela diverge. Então, queremos ver o que acontece com quando vai para o infinito.

Passo 3

Vamos analisar o crescimento das duas partes da fração:
  • é uma função exponencial, que cresce muito rapidamente à medida que aumenta.
  • é uma função polinomial de grau 10, que também cresce, mas de forma muito mais lenta comparada a funções exponenciais.

Passo 4

Como cresce muito mais rápido que , o numerador da nossa fração está aumentando muito mais rápido do que o denominador. Isso significa que vai ficar cada vez maior conforme aumenta.

Passo 5

Para formalizar, podemos usar o fato de que, para qualquer polinômio , a função sempre vai crescer mais rápido. Portanto, o limite de quando tende ao infinito é infinito.

Resposta

A sequência diverge para infinito.

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