Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para f(x) e determine o raio de convergência.
(f) f(x) = x^3 sen(x^4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar uma representação em série de potências para a função em torno de 0 e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para o seno é conhecida e pode ser usada aqui. A fórmula da série de Taylor para em torno de 0 é:

Passo 3

Agora, na nossa função , o argumento do seno é . Vamos substituir por na série de Taylor do seno:

Passo 4

Agora, multiplicamos essa série por para obter :

Passo 5

Agora, temos a representação em série de potências para :

Passo 6

Para determinar o raio de convergência dessa série, observamos que a série do seno tem um raio de convergência infinito, ou seja, converge para todo . Como fizemos uma substituição de e multiplicamos por , o raio de convergência permanece infinito.

Resposta

A representação em série de potências de em torno de 0 é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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