Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para
e determine o raio de convergência.
(f)
;
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
em torno de 0 e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para o seno é conhecida e pode ser usada aqui. A fórmula da série de Taylor para
em torno de 0 é:
Passo 3
Agora, na nossa função
, o argumento do seno é
. Vamos substituir
por
na série de Taylor do seno:
Passo 4
Agora, multiplicamos essa série por
para obter
:
Passo 5
Agora, temos a representação em série de potências para
:
Passo 6
Para determinar o raio de convergência dessa série, observamos que a série do seno tem um raio de convergência infinito, ou seja, converge para todo
. Como fizemos uma substituição de
e multiplicamos por
, o raio de convergência permanece infinito.
Resposta
A representação em série de potências de
em torno de 0 é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.