Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
ln(e(n+1)(n-1)/(n^2 + 2n + 1)) para n=1 até infinito.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida por:
A tarefa é descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções e propriedades dos logaritmos naturais (ln).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Olha só:
No denominador, note que é um quadrado perfeito, ou seja, . Então podemos reescrever a fração assim:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa fração. Podemos dividir o numerador e o denominador por n + 1:
Isso simplifica a expressão dentro do ln para:

Passo 4

Para encontrar o limite da sequência quando n tende ao infinito, vamos analisar:
Dividindo numerador e denominador por n, temos:
Então, o limite da expressão dentro do ln é e.

Passo 5

Agora, aplicamos o logaritmo natural ao limite encontrado:
Lembrando que porque o logaritmo natural de e é igual a 1.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 1.

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