Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida por:
A tarefa é descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções e propriedades dos logaritmos naturais (ln).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Olha só:
No denominador, note que
é um quadrado perfeito, ou seja,
. Então podemos reescrever a fração assim:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa fração. Podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Isso simplifica a expressão dentro do ln para:
Passo 4
Para encontrar o limite da sequência quando
tende ao infinito, vamos analisar:
Dividindo numerador e denominador por
, temos:
Então, o limite da expressão dentro do ln é
.
Passo 5
Agora, aplicamos o logaritmo natural ao limite encontrado:
Lembrando que
porque o logaritmo natural de
é igual a 1.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.