Use a definição de limite de uma sequência para mostrar:
lim n infty 1raizn=0

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede para mostrarmos que o limite de quando vai para o infinito é igual a 0. Isso faz parte do conteúdo de limites de sequências. Para resolver, vamos usar a definição formal de limite de uma sequência e verificar passo a passo que, conforme cresce, realmente se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite de uma sequência. Dizemos que:
limn to infty an = L
se, para todo |an - L| < epsilon , existe um número natural tal que para todo , a diferença entre e é menor que . Ou seja:
No nosso caso, e queremos provar que .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao nosso caso. Queremos mostrar que para qualquer | 1raizn - 0 | < epsilon , existe um 1raizn < epsilon tal que se , então:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um valor para 1raizn < epsilon implies raizn > 1epsilon implies n > ( 1epsilon )^2 que satisfaça essa desigualdade. Vamos resolver a inequação para N = ( 1epsilon )^2 :
Portanto, podemos escolher:

Passo 5

Com essa escolha de 1raizn < epsilon , sempre que , teremos:
Isso confirma que, segundo a definição, o limite da sequência é realmente 0.

Resposta

O limite de quando tende a infinito é 0.

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