Use a definição de limite de uma sequência para mostrar:
Passo 1
Beleza, vamos começar! O exercício pede para mostrarmos que o limite de quando vai para o infinito é igual a 0. Isso faz parte do conteúdo de limites de sequências. Para resolver, vamos usar a definição formal de limite de uma sequência e verificar passo a passo que, conforme cresce, realmente se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite de uma sequência. Dizemos que:
se, para todo , existe um número natural tal que para todo , a diferença entre e é menor que . Ou seja:
No nosso caso, e queremos provar que .
Passo 3
Vamos aplicar essa definição ao nosso caso. Queremos mostrar que para qualquer , existe um tal que se , então:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um valor para 1raizn < epsilon implies raizn > 1epsilon implies n > ( 1epsilon )^2 que satisfaça essa desigualdade. Vamos resolver a inequação para N = ( 1epsilon )^2 :
Portanto, podemos escolher:
Passo 5
Com essa escolha de 1raizn < epsilon , sempre que , teremos:
Isso confirma que, segundo a definição, o limite da sequência é realmente 0.