Encontre uma representação em séries de potências para a função e determine o raio de convergência.
f(x)=1x^2+25

Passo 1

O enunciado pede uma série de potências centrada em zero para
f(x)=1x^2+25
e o raio de convergência dessa série. Vamos usar a expansão de uma série geométrica do tipo
11+u=sumn=0^infty(-1)^nu^n, |u|<1

Passo 2

Reescrevemos f(x) de forma a ficar no formato tfrac11+u. Note que
x^2+25=25l(1+x^225r),
logo
f(x)=125,11+x^225

Passo 3

Aplicando a fórmula da série geométrica com u=tfracx^225, temos
11+u=sumn=0^infty(-1)^nu^n,
portanto
f(x)=125sumn=0^infty(-1)^nl(x^225r)^n =sumn=0^infty(-1)^nx^2n25^,n+1

Passo 4

Para convergência precisamos de
l|x^225r|<1 Long<=ftrightarrow |x|<5
Logo o raio de convergência é R=5.

Resposta

f(x)=1x^2+25 =sumn=0^infty(-1)^nx^2n25^,n+1, R=5

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