Utilize o teste de Leibniz, para mostrar a convergência das seguintes séries:
.
Passo 1
O enunciado pede pra usar o teste de Leibniz, que é o teste de convergência pra séries alternadas. A série é
, e a gente vai precisar definir o termo geral
e checar duas coisas: se
é decrescente e se
.
Passo 2
A gente escreve a série como
com
Lembre que o teste de Leibniz diz que se
,
e
, então a série converge.
Passo 3
Primeiro, vamos mostrar que
vai a zero quando
. Note que
Então a segunda condição do teste de Leibniz está ok.
Passo 4
Agora precisamos ver que
é decrescente. Considere a função
. Podemos checar o sinal da derivada:
Para
o numerador
é negativo, logo
e
é decrescente. Isso mostra que
pra todo
.
Passo 5
Como temos os módulos dos termos decrescentes (
),
e os sinais alternados, pelo teste de Leibniz a série converge.
Resposta
A série converge (condicionalmente) pelo teste de Leibniz.