Utilize o teste de Leibniz, para mostrar a convergência das seguintes séries:
5.4 sumn=1^infty(-1)^n 2 n4 n^2+1.

Passo 1

O enunciado pede pra usar o teste de Leibniz, que é o teste de convergência pra séries alternadas. A série é sumn=1^infty(-1)^n2n4n^2+1, e a gente vai precisar definir o termo geral an=2n4n^2+1 e checar duas coisas: se an é decrescente e se anto0.

Passo 2

A gente escreve a série como sum(-1)^n an com
an=2n4n^2+1
Lembre que o teste de Leibniz diz que se an>0, an+1<= an e anto0, então a série converge.

Passo 3

Primeiro, vamos mostrar que an vai a zero quando ntoinfty. Note que
limntoinfty2n4n^2+1=limntoinfty24n+1/n=0
Então a segunda condição do teste de Leibniz está ok.

Passo 4

Agora precisamos ver que an é decrescente. Considere a função f(x)=2x4x^2+1. Podemos checar o sinal da derivada:
f'(x)=2(4x^2+1)-2xcdot8x(4x^2+1)^2=2-8x^2(4x^2+1)^2
Para x>=1 o numerador 2-8x^2 é negativo, logo f'(x)<0 e f é decrescente. Isso mostra que an+1<= an pra todo n>=1.

Passo 5

Como temos os módulos dos termos decrescentes ( an+1<= an), anto0 e os sinais alternados, pelo teste de Leibniz a série converge.

Resposta

A série converge (condicionalmente) pelo teste de Leibniz.

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