Encontre os valores de
para os quais a série converge.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
Sum_{n=2}^∞ (-1)^{n-1} (ln n)^p/n, abordando tanto convergência condicional (teste de Leibniz) quanto absoluta (teste de Cauchy-condensação).
Sum_{n=2}^∞ (-1)^{n-1} (ln n)^p/n, abordando tanto convergência condicional (teste de Leibniz) quanto absoluta (teste de Cauchy-condensação).
Passo 2
Primeiro, verificamos o limite do termo geral
Para a sequência a_n = (ln n)^p/n, temos
Para a sequência a_n = (ln n)^p/n, temos
independente de p, pois n cresce muito mais rápido que (ln n)^p.
Passo 3
Depois, mostramos que a_n é monótona decrescente para n suficientemente grande
Considere f(x)= (ln x)^p / x com x>1. Calculando a derivada:
Considere f(x)= (ln x)^p / x com x>1. Calculando a derivada:
Para x>p, temos f’(x)<0, então a_n decresce a partir de algum índice.
Passo 4
Aplicamos o teste de Leibniz (alternante)
Como a_n→0 e é eventualmente decrescente, a série alternada converge para todo p real.
Como a_n→0 e é eventualmente decrescente, a série alternada converge para todo p real.
Passo 5
Agora, analisamos a convergência absoluta usando o teste de Cauchy-condensação
Definindo b_k = 2^k a_{2^k} = 2^k \frac{(\ln(2k))p}{2^k} = (k\ln2)^p, temos que ∑b_k ∼ ∑k^p. Essa última converge se e somente se p<−1.
Definindo b_k = 2^k a_{2^k} = 2^k \frac{(\ln(2k))p}{2^k} = (k\ln2)^p, temos que ∑b_k ∼ ∑k^p. Essa última converge se e somente se p<−1.
Passo 6
Concluímos que a série original converge para todo p real; converge absolutamente se p<−1 e apenas condicionalmente se p≥−1.
Resposta
A série converge para todo p real. Além disso, ela converge absolutamente quando p<−1 e converge apenas condicionalmente quando p≥−1.