Resolver os sistemas de equações diferenciais para as funções de t :
Resolver pelo método matricial
l d xd t=-3 z d yd t=z d zd t=x-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que envolve três funções em relação a t . O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais e a gente vai usar o método matricial para resolver. Para isso, vamos precisar montar uma matriz com os coeficientes das equações e encontrar os autovalores e autovetores para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. As equações que temos são:
l dxdt = -3z dydt = z dzdt = x - y
Podemos escrever isso como:
ddt x y z = 0 & 0 & -3 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 x y z
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
A = 0 & 0 & -3 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz A . Para isso, resolvemos o determinante det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade e lambda são os autovalores.
det -lambda & 0 & -3 0 & -lambda & 1 1 & -1 & -lambda = 0
Calculando o determinante:
-lambda ( -lambda cdot (-lambda) - 1 cdot (-1) ) - 0 + (-3) ( 0 cdot (-1) - (-lambda) cdot 1 ) = 0
Simplificando:
-lambda (lambda^2 + 1) - 3 lambda = 0 -lambda^3 - lambda - 3 lambda = 0 -lambda^3 - 4 lambda = 0 lambda (lambda^2 + 4) = 0
Então, os autovalores são:
lambda = 0, lambda = 2i, lambda = -2i

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos achar os autovetores correspondentes para cada lambda .
Para lambda = 0 :
Resolvemos A v = 0 :
0 & 0 & -3 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
Isso resulta em:
-3v3 = 0 Rightarrow v3 = 0 v3 = 0 v1 - v2 = 0 Rightarrow v1 = v2
Então, um autovetor para lambda = 0 é:
v0 = 1 1 0
Para lambda = 2i e lambda = -2i , os autovetores serão complexos, mas podemos escrever a solução geral usando funções reais combinadas.

Passo 5

A solução geral do sistema pode ser escrita como uma combinação linear dos autovetores multiplicados por exponenciais dos autovalores. Como temos autovalores complexos, vamos utilizar funções trigonométricas.
A solução geral é:
x(t) y(t) z(t) = C1 1 1 0 + e^0t [ C2 cos(2t) cos(2t) 12 sin(2t) + C3 sin(2t) sin(2t) -12 cos(2t) ]
Simplificando, já que e^0t = 1 :
x(t) y(t) z(t) = C1 1 1 0 + C2 cos(2t) cos(2t) 12 sin(2t) + C3 sin(2t) sin(2t) -12 cos(2t)

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 + C2 cos(2t) + C3 sin(2t) y(t) = C1 + C2 cos(2t) + C3 sin(2t) z(t) = 12 C2 sin(2t) - 12 C3 cos(2t)
onde C1, C2, C3 são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais do problema.

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