1. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
  2. x4-x^2

Passo 1

Estamos buscando a série de potências de
f(x) = x4 - x^2
e o seu raio de convergência. Para isso, vamos reconhecer uma forma de série geométrica e depois usar a condição de convergência lvert urvert<1.

Passo 2

Reescrevemos f(x) de modo a isolar uma parte no formato tfrac11-u. Observe que
x4 - x^2 = x4l(1 - tfracx^24r) = 14;x;11 - tfracx^24

Passo 3

Sabemos que para lvert urvert<1 vale
11 - u = sumn=0^infty u^n
Aqui u = tfracx^24, logo
11 - tfracx^24 = sumn=0^infty l(tfracx^24r)^n = sumn=0^infty x^2n4^n
Multiplicando por tfracx4, obtemos
f(x) = 14,x sumn=0^infty x^2n4^n = sumn=0^infty x^2n+14^n+1

Passo 4

A condição de convergência da série geométrica é
llvert tfracx^24rrvert < 1 Longrightarrow lvert xrvert < 2
Portanto, o raio de convergência é R = 2.

Resposta

x4 - x^2 = sumn=0^infty x^2n+14^n+1, R = 2

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