Equações de primeira ordem com coeficientes constantes. (a) Substituindo
, encontramos a equação auxiliar para a equação linear de primeira ordem $$ a y^{\prime}+b y=0,.
(b) Use o resultado do item (a) para encontrar a solução geral.
(b) Use o resultado do item (a) para encontrar a solução geral.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação linear homogênea de primeira ordem com coeficientes constantes
onde
e
são constantes. Vamos usar o método da ansatz exponencial, isto é, assumir
para determinar
e, a partir daí, obter a solução geral.
Passo 2
Assumindo
, temos
Substituindo esses valores na equação original, obtemos
Passo 3
Como
nunca se anula, a única forma de satisfazer a equação é
Passo 4
Para equações lineares homogêneas de primeira ordem a solução geral é
onde
é constante arbitrária. Substituindo
, vem