Equações de primeira ordem com coeficientes constantes. (a) Substituindo , encontramos a equação auxiliar para a equação linear de primeira ordem $$ a y^{\prime}+b y=0,.
(b) Use o resultado do item (a) para encontrar a solução geral.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação linear homogênea de primeira ordem com coeficientes constantes
a,y' + b,y = 0,
onde aneq0 e a,b são constantes. Vamos usar o método da ansatz exponencial, isto é, assumir
y(t)=e^r t,
para determinar r e, a partir daí, obter a solução geral.

Passo 2

Assumindo y(t)=e^r t, temos
y'(t)=r,e^r t
Substituindo esses valores na equação original, obtemos
al(r,e^r tr)+bl(e^r tr)=0 Longrightarrow (a,r + b),e^r t=0

Passo 3

Como e^r t nunca se anula, a única forma de satisfazer a equação é
a,r + b = 0 Longrightarrow r = -ba

Passo 4

Para equações lineares homogêneas de primeira ordem a solução geral é
y(t)=C,e^r t,
onde C é constante arbitrária. Substituindo r=-tfracba, vem
y(t)=C,e^-ba,t

Resposta

y(t)=C,e^-ba,t

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