1. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
  2. f(x)=1-x^2(1+x^2)^2 ( Dica: f(x)=dd x(x1+x^2))

Passo 1

O enunciado pede para expressar
f(x)=1 - x^2(1 + x^2)^2
em forma de série de potências e determinar o raio de convergência. A dica sugere usar
f(x)=ddxl(x1+x^2r),
então vamos primeiro expandir x1+x^2 como série de potências em torno de x=0.

Passo 2

Defina
g(x)=x1+x^2
Usando a série geométrica 11+z=sumn=0^infty(-1)^n z^n válida para |z|<1, com z=x^2 temos
11+x^2=sumn=0^infty(-1)^n x^2n
Multiplicando por x, obtemos
g(x)=xsumn=0^infty(-1)^n x^2n =sumn=0^infty(-1)^n x^2n+1,
válido para |x|<1.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo para achar f(x):
f(x)=g'(x) =ddxsumn=0^infty(-1)^n x^2n+1 =sumn=0^infty(-1)^n (2n+1),x^2n

Passo 4

A diferenciação termo a termo preserva o raio de convergência, que continua sendo |x|<1. Portanto o raio de convergência é
R = 1

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^n(2n+1),x^2n, R=1

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