Resolva as seguintes integrais indefinidas pelo método das frações parciais:
(1,0) integral 2 x+1x^3-x^2-x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2x+1x^3-x^2-x+1,dx
usando o método das frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador em polinômios de grau menor e depois decompor o integrando em termos simples cuja antiderivada conhecemos.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^3-x^2-x+1 = x^2(x-1) -1(x-1) = (x^2-1)(x-1) = (x-1)^2(x+1)
Logo buscamos constantes A, B e C tais que
2x+1(x-1)^2(x+1) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)^2(x+1) para igualar numeradores:
2x+1 = A(x-1)(x+1) + B(x+1) + C(x-1)^2
Expandindo:
A(x^2-1) + B(x+1) + C(x^2-2x+1) = (A+C)x^2 + (B-2C)x + (-A+B+C)
Isso deve ser igual a 0cdot x^2 + 2x + 1. Portanto os coeficientes satisfazem o sistema
A + C = 0, B - 2C = 2, -,A + B + C = 1

Passo 4

Resolvendo o sistema: da primeira equação A=-C. Substituindo nas outras:
B - 2C = 2, -(-C) + B + C = B + 2C = 1
Somando as duas últimas equações dá 2B=3, então B=tfrac32.
Depois B-2C=2 implica tfrac32-2C=2, logo C=-tfrac14.
E A=-C=tfrac14.

Passo 5

Reescrevendo a integral:
integral 2x+1(x-1)^2(x+1),dx = integral l(1/4x-1 + 3/2(x-1)^2 - 1/4x+1r),dx
Integramos termo a termo:
integral 1/4x-1,dx = 14lnlvert x-1rvert, integral 3/2(x-1)^2,dx = -32,1x-1, integral -1/4x+1,dx = -14lnlvert x+1rvert

Resposta

boxed integral 2x+1x^3-x^2-x+1,dx = 14lnllvert x-1rrvert - 32,1x-1 - 14lnllvert x+1rrvert + C

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