Resolva as seguintes integrais indefinidas pelo método das frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando o método das frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador em polinômios de grau menor e depois decompor o integrando em termos simples cuja antiderivada conhecemos.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador:
Logo buscamos constantes , e tais que
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por para igualar numeradores:
Expandindo:
Isso deve ser igual a . Portanto os coeficientes satisfazem o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema: da primeira equação A=-C. Substituindo nas outras:
B - 2C = 2, -(-C) + B + C = B + 2C = 1
Somando as duas últimas equações dá 2B=3, então B=tfrac32.
Depois B-2C=2 implica tfrac32-2C=2, logo C=-tfrac14.
E A=-C=tfrac14.
Passo 5
Reescrevendo a integral:
integral 2x+1(x-1)^2(x+1),dx = integral l(1/4x-1 + 3/2(x-1)^2 - 1/4x+1r),dx
Integramos termo a termo:
integral 1/4x-1,dx = 14lnlvert x-1rvert, integral 3/2(x-1)^2,dx = -32,1x-1, integral -1/4x+1,dx = -14lnlvert x+1rvert
Resposta
boxed integral 2x+1x^3-x^2-x+1,dx = 14lnllvert x-1rrvert - 32,1x-1 - 14lnllvert x+1rrvert + C