Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Utilize o teorema sobre a integração de séries de potências. Determine o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de potências de
. O conteúdo envolvido é séries de potências e o teorema de integração termo a termo: se
converge para
, então
também converge para
.
Passo 2
Começamos da série geométrica para
. Sabemos que, para
,
Aqui fazemos
, obtendo
válido para
, ou seja,
.
Passo 3
Como
multiplicamos a série acima por
:
Passo 4
Agora integramos termo a termo usando o teorema de integração de séries de potências:
Passo 5
Para determinar a constante
, fazemos
:
. No lado direito, todos os termos da soma em
são zero, logo
.
Passo 6
Simplificamos o coeficiente e reindexamos. Em cada termo,
Definindo
(então
e
), obtemos