Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Utilize o teorema sobre a integração de séries de potências. Determine o raio de convergência.
ln (1+x^2)

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de ln(1+x^2). O conteúdo envolvido é séries de potências e o teorema de integração termo a termo: se
sumn=0^infty an x^n
converge para |x|<R, então
integral sumn=0^infty an x^n,dx = C + sumn=0^infty an x^n+1n+1
também converge para |x|<R.

Passo 2

Começamos da série geométrica para 11+u. Sabemos que, para |u|<1,
11+u = sumn=0^infty (-1)^n u^n
Aqui fazemos u=x^2, obtendo
11+x^2 = sumn=0^infty (-1)^n x^2n,
válido para |x^2|<1, ou seja, |x|<1.

Passo 3

Como
ddxln(1+x^2) = 2x1+x^2,
multiplicamos a série acima por 2x:
ddxln(1+x^2) = 2xsumn=0^infty(-1)^n x^2n = sumn=0^infty 2(-1)^n x^2n+1

Passo 4

Agora integramos termo a termo usando o teorema de integração de séries de potências:
ln(1+x^2) = C + sumn=0^infty 2(-1)^n x^2n+22n+2

Passo 5

Para determinar a constante C, fazemos x=0: ln(1+0^2)=0. No lado direito, todos os termos da soma em x=0 são zero, logo C=0.

Passo 6

Simplificamos o coeficiente e reindexamos. Em cada termo,
2/(2n+2)=1/(n+1)
Definindo m=n+1 (então m=1,2,3,dots e n=m-1), obtemos
ln(1+x^2) = summ=1^infty (-1)^m-1x^2mm

Resposta

boxed ln(1+x^2) = summ=1^infty (-1)^m-1x^2mm, com raio de convergência R=1 ê

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