1. Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
    (a) sumk=1^infty (-1)^k k^32^k+2
    (b) sumk=1^infty (-1)^k+1 k ! 6^k

Passo 1

O enunciado pede para cada série alternante determinar se ela converge absolutamente ou, caso não, se converge condicionalmente. Vamos usar dois testes principais: o teste da razão para verificar convergência absoluta de sum |ak| e o fato de que, para uma série (alternante ou não) convergir, o termo geral deve tender a zero.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta da série
sumk=1^infty (-1)^kk^32^k+2
estudando
sumk=1^infty|(-1)^kk^32^k+2| =sumk=1^inftyk^32^k+2
Pelo teste da razão aplicamos
L=limktoinfty(k+1)^3/2^,k+3k^3/2^,k+2 =limktoinftyl(tfrack+1kr)^3cdot2^,k+22^,k+3 =12<1,
logo sum k^3/2^k+2 converge.

Passo 3

Como sum|ak| converge, a série original
sumk=1^infty(-1)^kk^32^k+2
converge absolutamente.

Passo 4

Agora a série
sumk=1^infty(-1)^k+1k!6^k
e sua série de módulos
sumk=1^inftyk!6^k
são testadas pelo mesmo teste da razão:
L=limktoinfty(k+1)!/6^,k+1k!/6^,k =limktoinftyk+16=infty>1,
logo sum k!/6^k diverge e não há convergência absoluta.

Passo 5

Para haver convergência (mesmo condicional), é necessário que o termo geral tenda a zero. Mas
limktoinftyk!6^k=infty,
ou seja, nem mesmo o termo geral tende a zero. Portanto a série
sumk=1^infty(-1)^k+1k!6^k
diverge e não converge condicionalmente.

Resposta

(a) Converge absolutamente.
(b) Diverge (não converge nem condicionalmente).

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