Use a técnica da substituição para resolver as seguintes integrais:
integral0^1 6 x^2raiz8 x^3+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral definida de x = 0 até x = 1 da função 6x^2raiz8x^3 +1 . Isso está dentro do estudo de Cálculo, mais especificamente em Técnicas de Integração usando a substituição. Para resolver, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique o denominador. Observando raiz8x^3 +1 , uma boa ideia é deixar u = 8x^3 +1 . Isso vai transformar a expressão sob a raiz em raizu , que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para fazer a substituição completa. Calculamos:
dudx = 24x^2
Isso significa que:
du = 24x^2 dx

Passo 4

Na nossa integral original, temos 6x^2 dx . Vamos expressar isso em termos de du :
6x^2 dx = 624 du = 14 du

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral 6x^2raiz8x^3 +1 dx = integral 14 duraizu = 14 integral u^-12 du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^-12 :
integral u^-12 du = 2u^12 + C
Então,
14 times 2u^12 = 12 raizu + C

Passo 7

Voltando à variável original x :
12 raiz8x^3 +1
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1 :
[ 12 raiz8x^3 +1 ]0^1 = 12 raiz8(1)^3 +1 - 12 raiz8(0)^3 +1

Passo 8

Calculando os valores:
12 raiz8 +1 - 12 raiz0 +1 = 12 raiz9 - 12 raiz1 = 12 times 3 - 12 times 1 = 32 - 12 = 1

Resposta

O valor da integral é 1.

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