Em um estudo de crescimento populacional, a variação de uma população ao longo do tempo pode ser modelada por uma determinada função. Calcule
utilizando as regras de derivação para soma e subtração de funções.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
da função
Informações dadas: a função é a diferença de duas expressões com radicais envolvendo
. A única pergunta é: calcular a derivada
.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever as raízes como potências, porque a regra da derivada que vamos usar funciona facilmente com potências. Lembre-se da relação
Aplicando isso:
Portanto a função fica
Expliquei: escrevemos
como
, que é o motivo do expoente negativo.
Passo 3
Agora as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma direta):
- Regra da linearidade: a derivada da soma ou diferença é a soma ou diferença das derivadas. Ou seja,
e . - Regra do fator constante: a constante pode sair da derivada:
, onde é constante. - Regra da potência (a mais importante aqui): para
com real,
Na fórmula,
é o expoente e
é a variável; aplicamos multiplicando pelo expoente e diminuindo 1 no expoente.
Passo 4
Aplicando a regra da potência ao primeiro termo
:
- O coeficiente
permanece multiplicando. - O expoente
é .
Usando,
Calculemos passo a passo os resultados:
Logo o primeiro termo da derivada é
Passo 5
Agora o segundo termo
(repare que há um sinal de menos na frente):
Usando as mesmas regras,
Usando as mesmas regras,
Calculemos:
Portanto o segundo termo da derivada é
Passo 6
Somando os dois termos (regra da linearidade), obtemos a derivada completa:
Se preferir reescrever em radicais (para ficar com a forma parecida com o enunciado), lembre que
e
. Assim: