Em um estudo de crescimento populacional, a variação de uma população ao longo do tempo pode ser modelada por uma determinada função. Calcule \mathrm{f}^{\'}(\mathrm{x}) utilizando as regras de derivação para soma e subtração de funções.
\frac{9}{\sqrt[4]{x^{3}}}-\frac{\sqrt[6]{x^{5}}}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) da função
\frac{9}{\sqrt[4]{x^{3}}}-\frac{\sqrt[6]{x^{5}}}{4}.
Informações dadas: a função é a diferença de duas expressões com radicais envolvendo x. A única pergunta é: calcular a derivada \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}).

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever as raízes como potências, porque a regra da derivada que vamos usar funciona facilmente com potências. Lembre-se da relação
\sqrt[n]{x^{m}} = x^{m/n}.
Aplicando isso:
\sqrt[4]{x^{3}} = x^{3/4}, \qquad \sqrt[6]{x^{5}} = x^{5/6}.
Portanto a função fica
\frac{9}{\sqrt[4]{x^{3}}}-\frac{\sqrt[6]{x^{5}}}{4} = 9x^{-3/4} - \frac{1}{4}x^{5/6}.
Expliquei: escrevemos 1/\sqrt[4]{x^{3}} como x^{-3/4}, que é o motivo do expoente negativo.

Passo 3

Agora as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • Regra da linearidade: a derivada da soma ou diferença é a soma ou diferença das derivadas. Ou seja, \big(f+g\big)'=f'+g' e \big(f-g\big)'=f'-g'.
  • Regra do fator constante: a constante pode sair da derivada: \big(a\cdot f(x)\big)'=a\cdot f'(x), onde a é constante.
  • Regra da potência (a mais importante aqui): para x^{n} com n real,
\frac{d}{dx}x^{n} = n x^{n-1}.
Na fórmula, n é o expoente e x é a variável; aplicamos multiplicando pelo expoente e diminuindo 1 no expoente.

Passo 4

Aplicando a regra da potência ao primeiro termo 9x^{-3/4}:
  • O coeficiente 9 permanece multiplicando.
  • O expoente n é -\tfrac{3}{4}.
    Usando \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},
\frac{d}{dx}\big(9x^{-3/4}\big) = 9\cdot\big(-\tfrac{3}{4}\big)x^{-3/4 - 1}.
Calculemos passo a passo os resultados:
9\cdot\big(-\tfrac{3}{4}\big) = -\tfrac{27}{4}, \qquad - \tfrac{3}{4} - 1 = -\tfrac{7}{4}.
Logo o primeiro termo da derivada é
-\tfrac{27}{4}x^{-7/4}.

Passo 5

Agora o segundo termo -\tfrac{1}{4}x^{5/6} (repare que há um sinal de menos na frente):
Usando as mesmas regras,
\frac{d}{dx}\big(-\tfrac{1}{4}x^{5/6}\big) = -\tfrac{1}{4}\cdot\frac{5}{6}x^{5/6 - 1}.
Calculemos:
\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{5}{6} = \tfrac{5}{24}, \qquad \tfrac{5}{6} - 1 = -\tfrac{1}{6}.
Portanto o segundo termo da derivada é
-\tfrac{5}{24}x^{-1/6}.

Passo 6

Somando os dois termos (regra da linearidade), obtemos a derivada completa:
\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) = -\tfrac{27}{4}x^{-7/4} - \tfrac{5}{24}x^{-1/6}.
Se preferir reescrever em radicais (para ficar com a forma parecida com o enunciado), lembre que x^{-7/4} = 1/\sqrt[4]{x^{7}} e x^{-1/6}=1/\sqrt[6]{x}. Assim:
\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) = -\frac{27}{4\sqrt[4]{x^{7}}} - \frac{5}{24\sqrt[6]{x}}.

Resposta

\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) = -\tfrac{27}{4}x^{-7/4} - \tfrac{5}{24}x^{-1/6}

Exercícios relacionados