Encontre f circ g, g circ f, f circ f e g circ g e seus respectivos domínios:
f(x)=1raizx e g(x)=x+1;

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x)=1raizx com domínio x>0 e
g(x)=x+1 com domínio R.
Queremos as composições
,fcirc g,;gcirc f,;fcirc f,;gcirc g e, para cada uma, encontrar o conjunto de x que faz sentido (domínio).

Passo 2

Para fcirc g usamos a regra
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)
Logo,
(fcirc g)(x) = f(x+1) =1raizx+1
Como g aceita todo real mas f exige argumento positivo, precisamos de
x+1>0Longrightarrow x>-1
Portanto o domínio de fcirc g é x>-1.

Passo 3

Para gcirc f temos
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r) =g!l(tfrac1raizxr) =1raizx+1
Aqui o único requisito é que x esteja no domínio de f, ou seja x>0.
Logo o domínio de gcirc f é x>0.

Passo 4

Para fcirc f aplicamos f duas vezes:
(fcirc f)(x)=fl(f(x)r) =f!l(tfrac1raizxr) =1raiztfrac1raizx
Agora simplificamos:
raiz1raizx =l(tfrac1raizxr)^1/2 =x^-1/4,
então
(fcirc f)(x) =1x^-1/4 =x^1/4
O domínio herda x>0 de f, e como f(x)>0 para x>0, não há mais restrições.
Portanto o domínio de fcirc f é x>0.

Passo 5

Para gcirc g basta:
(gcirc g)(x)=gl(g(x)r) =g(x+1) =(x+1)+1 =x+2
Como g aceita todo real e o resultado é real, o domínio continua sendo R.

Resposta

fcirc g(x)=dfrac1raizx+1,dom=x>-1
gcirc f(x)=dfrac1raizx+1,dom=x>0
fcirc f(x)=x^1/4,dom=x>0
gcirc g(x)=x+2,dom=R

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