Verifique se os limites abaixo existem ou não:
lim (x, y) mapsto(0,0) 2 x^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) mapsto(0,0) 2 x^2-y^2x^2+y^2. A gente está lidando com um limite de uma função de duas variáveis, ou seja, quando (x, y) se aproxima de (0,0). Para verificar se esse limite existe, precisamos ver se o resultado é o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar em (0,0). Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e analisar diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo na função:
2x^2 - 0^2x^2 + 0^2 = 2x^2x^2 = 2
Então, quando nos aproximamos de (0,0) pelo eixo x, o limite é 2.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece ao longo do eixo y, onde x = 0. Substituindo na função:
2 cdot 0^2 - y^20^2 + y^2 = -y^2y^2 = -1
Dessa forma, ao nos aproximarmos de (0,0) pelo eixo y, o limite é -1.

Passo 4

Os limites ao longo dos eixos x e y são diferentes: um dá 2 e o outro dá -1. Isso significa que o valor do limite depende do caminho que a gente escolhe para chegar em (0,0). Se a gente obtém resultados diferentes por caminhos diferentes, então o limite não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) mapsto(0,0) 2 x^2-y^2x^2+y^2 não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de (0,0) por caminhos distintos.

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