Encontre o resto da divisĂŁo de 7^34 por 51.

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de ,7^34, por ,51. Estamos em Aritmética Modular e vamos usar o Teorema de Euler, que diz que para gcd(a,n)=1 vale
a^varphi(n) equiv 1 pmodn

Passo 2

Verificamos que gcd(7,51)=1, então podemos aplicar Euler. Calculamos varphi(51). Como 51 = 3 cdot 17, temos
varphi(51) = varphi(3),varphi(17) = (3-1)(17-1) = 2 cdot 16 = 32

Passo 3

Pelo Teorema de Euler,
7^32 equiv 1 pmod51
Logo podemos reduzir o expoente de 7^34 módulo 32.

Passo 4

Escrevemos
7^34 = 7^32 cdot 7^2 equiv 1 cdot 7^2 = 49 pmod51

Resposta

O resto da divisão de 7^34 por 51 é 49.

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