Questão 05 (valor = 2,0) - Três máquinas M 1, M2 e M3 de fabricar sorvetes produzem respectivamente 25 %, 40 % e 35 % de todo sorvete que é consumido num parque de diversão. As porcentagens de sorvetes produzidos pelas máquinas que não são aproveitados são 2 %, 3 % e 4 %, respectivamente. Um sorvete que não foi aproveitado, qual a probabilidade que tenha sido produzido pela máquina M3?

Passo 1

Resumindo: temos três máquinas M1, M2 e M3 que produzem, respectivamente, 25%, 40% e 35% de todo o sorvete. Dessas produções, as taxas de sorvete não aproveitado são 2%, 3% e 4%. Queremos a probabilidade de que um sorvete não aproveitado tenha vindo da máquina M3. O conteúdo aqui é probabilidade condicional e Teorema de Bayes: vamos usar a regra da probabilidade total para calcular P(não aproveitado)ã e, em seguida, aplicar
P(M3mid não aproveitado) = P(M3),P(não aproveitadomid M3)P(não aproveitado)ããã

Passo 2

Definimos os eventos e suas probabilidades a priori e condicionais convertendo porcentagens em probabilidades:
P(M1)=0,25, P(M2)=0,40, P(M3)=0,35,
P(Nmid M1)=0,02, P(Nmid M2)=0,03, P(Nmid M3)=0,04,
em que N é o evento “sorvete não aproveitado”.

Passo 3

Calculamos a probabilidade total de um sorvete não aproveitado usando a regra da soma ponderada:
P(N) = P(M1)P(Nmid M1)+P(M2)P(Nmid M2)+P(M3)P(Nmid M3)
P(N)=0,25cdot0,02+0,40cdot0,03+0,35cdot0,04 =0,005+0,012+0,014=0,031

Passo 4

Aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade buscada:
P(M3mid N) = P(M3),P(Nmid M3)P(N) = 0,35cdot0,040,031 = 0,0140,031 = 1431approx0,4516

Resposta

A probabilidade de que um sorvete não aproveitado tenha sido produzido pela máquina M3 é
1431approx0,4516(ou 45,16%)

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