Encontre o resto da divisão de:
5^175 por 11

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 5^175 por 11. O conteúdo aqui é aritmética modular e, em particular, o uso do Pequeno Teorema de Fermat para reduzir o expoente.

Passo 2

Como 11 é primo e gcd(5,11)=1, pelo Pequeno Teorema de Fermat vale
5^10equiv1pmod11

Passo 3

Escrevemos o expoente 175 na forma 175=10cdot17+5. Assim,
5^175 = l(5^10r)^17cdot5^5 equiv1^17cdot5^5 equiv5^5pmod11

Passo 4

Calculamos 5^5 em módulo 11 de forma incremental:
5^2=25equiv3pmod11, 5^4=(5^2)^2equiv3^2=9pmod11,
5^5 = 5^4cdot5equiv9cdot5=45equiv1pmod11

Resposta

O resto da divisão de 5^175 por 11 é 1.

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