Encontre o resto da divisão de
5!cdot 25 ! por 31

Passo 1

O enunciado nos pede o resto da divisão de 5!cdot25! por 31. Como 31 é primo, vamos usar aritmética modular e em especial o Teorema de Wilson.

Passo 2

O Teorema de Wilson diz que, para todo primo p,
(p-1)! equiv -1 pmod p
Aqui p=31, logo
30! equiv -1 pmod31

Passo 3

Note que
30! ;=; 30cdot29cdot28cdot27cdot26;cdot25!
Isolando 25! em módulo 31, temos
25! ;equiv; 30!;l(30cdot29cdot28cdot27cdot26r)^-1 ;equiv; -1;l(30cdot29cdot28cdot27cdot26r)^-1 pmod31

Passo 4

Calculemos o produto
30cdot29cdot28cdot27cdot26 equiv(-1)cdot(-2)cdot(-3)cdot(-4)cdot(-5) =-1cdot-2cdot-3cdot-4cdot-5 =-120equiv4pmod31
Como 4^-1equiv8pmod31, segue
25!equiv -1cdot8equiv-8equiv23pmod31

Passo 5

Agora 5!=120equiv120-31cdot3=120-93=27pmod31. Logo
5!cdot25!equiv27cdot23=621equiv621-31cdot20=621-620=1pmod31

Resposta

O resto da divisão de 5!cdot25! por 31 é boxed1.

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